计算九连环需要多少步解下来的方法

根据九连环的玩法我们可以知道，面对一个所有环都处于“下环“”的状态，如果我们想上前 $n$ 环，那么我们首先要先上前 $n-1$ 环，然后下前 $n-2$ 环，然后上第 $n$ 环，然后上前 $n-2$ 环。因此，如果我们把上第 $n$ 环所需步数记为 $a_n$ ，那么数列 $a_n$满足：

$$a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}+1\text{\hspace{1em}(1)}$$

这里我们认为我们每次只能操作一个环，即不能同时上下前两个环

利用该递推公式编写 python 程序，可以很轻松的计算得到 $a_n=341$

def func(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    else:
        return func(n-1) + 2*func(n-2)+1
res = func(9)
print(res)

那么如何得到 $a_n$ 的通项公式呢，在广泛查阅资料后得知，$a_n$ 属于二阶线性常系数非齐次递推关系。可以通过公式计算得到。

具体计算方法可跳转到文末的参考资料

最终计算结果为
$$a_n=-\frac{1}{6}(-1{)}^n+\frac{2}{3}{2}^n-\frac{1}{2}$$

同样得到 $a_9=341$ 与 python 计算结果一致。

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参考资料：

百度文库–2.4 线性常系数非齐次递推关系

优快云–python实现斐波那契数列