程序验证（七）：可满足性模理论(Satisfiability Modulo Theories)

程序验证（七）：可满足性模理论(Satisfiability Modulo Theories)

SMT

Satisfiability Modulo Theories(SMT)是以下情况的公式的判定问题：

• 一些一阶理论的复合
• 具有任意的布尔结构

DPLL($T$): DPLL Modulo Theories

这是现代SMT求解器的基础技术
将SMT问题分解为我呢吧可以高效求解的子问题：

• 使用SAT求解技术来处理布尔结构（宏观）
• 使用专门的理论求解器(theory solver)来判定背景理论的可满足性（微观）

布尔结构

布尔结构

通过$T$-公式的语义，我们递归定义公式$F$的布尔结构：

原式	布尔结构定义
$B({\ell }_T)$	$P_i$
$B(\neg F)$	$\neg B(F)$
$B(F_1\wedge F_2)$	$B(F_1)\wedge B(F_2)$
$B(F_1\vee F_2)$	$B(F_1)\vee B(F_2)$
$B(F_1\to F_2)$	$B(F_1)\to B(F_2)$
$B(F_1\leftrightarrow F_2)$	$B(F_1)\leftrightarrow B(F_2)$

这里$P_i$是布尔变量
举例：
考虑以下公式：
$$F:g(a)=c\wedge (f(g(a))\ne f(c)\vee g(a)=d)\wedge c\ne d$$
$F$的布尔抽象：
$$B(F)=B(g(a)=c)\wedge (B(f(g(a))\ne f(c))\vee B(g(a)=d))\wedge B(c\ne d)=P_1\wedge (\neg P_2\vee P_3)\wedge \neg P_4$$
我们也可以定义$B^{-1}$，比如 B − 1 ( P 1 ∧ P 3 ∧ P 4 ) B^{-1}(P_1 \wedge P_3 \wedge P_4) B−1(P