第一章 矩阵代数

比较重要的一些概念。

• 正交：若两个p维向量a和b满足

  
  则称a和b正交。几何上，正交向量之间相互垂直。

• 若方阵A满足AA′=I，则称A为正交矩阵。

• 正交矩阵的三个等价定义：

• 若方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。对称的幂等矩阵称为投影矩阵。
• 正交矩阵A的几何意义
  
  

正交阵A的行列式非1即−1。若|A|=1，则正交变换y=Ax意味着对原p维坐标系作一刚性旋转（或称正交旋转），y的各分量正是该点在新坐标系下的坐标；若|A|=−1，则包含了一个镜面反射的坐标轴。
由于 y′y=(Ax)′(Ax)=x′A′Ax=x′x ， 故在新、旧坐标系下，该点到原点的距离保持不变。

• 奇异值分解