【第一章:人工智能基础】04.数学建模基本方法-(2)矩阵运算与线性代数-优快云博客

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第一章人工智能基础

第四部分：数学建模基本方法

第二节：矩阵运算与线性代数

内容：矩阵的基本运算、矩阵的特征值与特征向量。

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一、矩阵的基本概念

矩阵（Matrix）：一个按照行和列排列的二维数表，记作：
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}$
维度（Shape）：m×n，表示有 m 行 n 列。

二、矩阵的基本运算

1. 矩阵加法与减法

要求维度一致，按对应元素进行加减：
$C = A + B,\quad c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

2. 数乘（标量乘法）

所有元素同时乘以一个常数 λ：
$B = \lambda A,\quad b_{ij} = \lambda a_{ij}$

3. 矩阵乘法

条件：矩阵 $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p}$
计算方式：
$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}$

4. 转置

行列互换：
$A^T_{ij} = A_{ji}$

5. 单位矩阵与零矩阵

单位矩阵 I：对角线为 1，其余为 0
零矩阵 0：所有元素为 0

三、矩阵的逆（可逆矩阵）

条件：矩阵必须是方阵（n × n）且行列式不为 0
性质：
$A^{-1} \cdot A = I$

判断方法：

若 $\det(A) \ne 0$ ，则 A 可逆
对于 2×2 矩阵：
$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

四、特征值与特征向量（Eigenvalues & Eigenvectors）

定义：

若对一个矩阵 A，存在一个非零向量 x 和常数 λ，满足：

$A x = \lambda x$

则 x 是矩阵 A 的特征向量，λ 是对应的特征值。

求法：

解以下特征方程的特征值 λ：
$\det(A - \lambda I) = 0$
将特征值代入方程 $(A - \lambda I)x = 0$ ，解出特征向量 x。

示例：

给定：

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

解得特征值：λ=1,3

对应特征向量可解线性方程组得出。

五、在人工智能中的应用

应用方向	说明
数据压缩	PCA主成分分析使用特征值分解
神经网络结构	权重矩阵运算和反向传播中广泛使用线性代数
图神经网络	使用邻接矩阵、拉普拉斯矩阵处理图结构数据
推荐系统	使用矩阵分解进行协同过滤

六、NumPy中的矩阵操作示例

import numpy as np

# 定义矩阵
A = np.array([[2, 1], [1, 2]])

# 矩阵乘法
B = np.dot(A, A)

# 求转置
At = A.T

# 求特征值与特征向量
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)
print("特征值：", eigvals)
print("特征向量：", eigvecs)