【第一章:人工智能基础】03.算法分析与设计-(2)分治法

第一章 人工智能基础

第三部分：算法分析与设计

第二节：分治法

内容：分治策略、归并排序和快速排序的实现与分析

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一、什么是分治法（Divide and Conquer）？

分治法是一种经典的算法设计思想，其基本思路是：

将一个复杂问题分成若干个规模较小的子问题，分别求解，然后将子问题的解合并得到原问题的解。

分治法通用结构

┌────────────────────────────┐
│        原问题（Problem）    │
└────────────────────────────┘
              │
              ▼
     ┌───────────────────────┐
     │ 分解为子问题（Divide）  │
     └───────────────────────┘
              │
              ▼
   ┌───────────────────────────┐
   │ 递归地解决子问题（Conquer） │
   └───────────────────────────┘
              │
              ▼
     ┌─────────────────────────┐
     │ 合并子问题结果（Combine） │
     └─────────────────────────┘
              │
              ▼
    ┌──────────────────────────┐
    │ 原问题的最终解（Solution） │
    └──────────────────────────┘

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二、分治法的三个步骤

1. 分解（Divide）：将原问题分解为若干个子问题。

2. 解决（Conquer）：递归地解决这些子问题。

3. 合并（Combine）：将子问题的结果合并，得到原问题的解。

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三、典型算法示例

1. 归并排序（Merge Sort）

• 原理：递归将数组分为两半，分别排序后合并有序数组。

• 时间复杂度：始终为 O(n log n)。

• 空间复杂度：O(n)，因为需要额外数组用于合并。

示例代码：

def merge_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    mid = len(arr) // 2
    left = merge_sort(arr[:mid])
    right = merge_sort(arr[mid:])
    return merge(left, right)

def merge(left, right):
    merged = []
    i = j = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            merged.append(left[i])
            i += 1
        else:
            merged.append(right[j])
            j += 1
    merged.extend(left[i:])
    merged.extend(right[j:])
    return merged

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2. 快速排序（Quick Sort）

• 原理：选择一个基准值（pivot），将数组划分为小于/大于基准值的子数组，再递归排序。

• 平均时间复杂度：O(n log n)

• 最坏时间复杂度：O(n²)（当数组已排序时）

• 空间复杂度：O(log n)（递归栈空间）

示例代码：

def quick_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    pivot = arr[0]
    less = [x for x in arr[1:] if x <= pivot]
    greater = [x for x in arr[1:] if x > pivot]
    return quick_sort(less) + [pivot] + quick_sort(greater)

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四、归并排序 vs 快速排序

特性	归并排序	快速排序
思路	分→治→合	分→治（无需合）
时间复杂度	O(n log n)	平均 O(n log n)，最坏 O(n²)
空间复杂度	O(n)（额外数组）	O(log n)（递归栈）
是否原地排序	否	是（原地划分）
稳定性	稳定	不稳定

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五、总结

• 分治法是一种非常常用的思想，适用于很多递归问题。

• 核心是把问题变成子问题来解决，再合并。

• 归并排序和快速排序都是优秀的典范：

  • 归并排序适合大数据和链表；

  • 快速排序适合内存中的大数组，且实现简洁。