【漫话机器学习系列】179.自然对数（Natural Log）

IT古董

于 2025-04-03 09:04:58 发布

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分类专栏：漫话机器学习系列专辑文章标签：机器学习人工智能

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自然对数（Natural Log）详解

1. 引言

在数学、物理、计算机科学和工程学中，对数（logarithm）是一种重要的运算。自然对数（Natural Log，简写为 ln） 是对数的一种特殊形式，它的底数是 欧拉数 e，即 e ≈ 2.71828。

本文将从以下几个方面详细介绍自然对数：

什么是自然对数？
欧拉数 e 的由来
自然对数的数学性质
自然对数的应用
相关推导和计算

2. 什么是自然对数？

在数学中，对数的定义如下：

若 $b^x = a$ ，则对数表示为：
$\log_b a = x$
其中，b 是对数的底，a 是指数结果，x 是对数值。

自然对数是一种特殊对数，它的底数是 e，即：

$\ln x = \log_e x$

其中， $\ln x$ 表示 以 e 为底的对数，它的数学意义是“e 的几次幂等于 x？”

例如：

$\ln e = 1$ ，因为 $e^1 = e$
$\ln 1 = 0$ ，因为 $e^0 = 1$
$\ln e^x = x$ ，因为 $e^x$ 本身就是指数形式

通俗理解： 自然对数告诉我们，某个数需要用 多少次 e 的幂运算 才能得到它。

3. 欧拉数 e 的由来

欧拉数 e 是数学中最重要的常数之一，由瑞士数学家 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler） 发现。它的定义如下：

$e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$

或者用无穷级数展开：

$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots$

数值近似：

e ≈ 2.718281828459045

欧拉数的意义：

它描述了 连续复利 的增长过程。
在微积分中，它是唯一满足 $\frac{d}{dx} e^x = e^x$ 的函数。
在概率论、信息论、物理学等领域都有广泛应用。

4. 自然对数的数学性质

自然对数满足以下重要的数学性质：

4.1 对数基本性质

$\ln (a \cdot b) = \ln a + \ln b$

$\ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$

$\ln a^b = b \cdot \ln a$

4.2 与指数的关系

$\ln e^x = x$

$e^{\ln x} = x$

4.3 导数性质

自然对数函数的导数：

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \quad (x > 0)$

自然对数的积分：

$\int \ln x \,dx = x \ln x - x + C$

5. 自然对数的应用

5.1 复利计算

在金融和经济学中，自然对数用于计算连续复利：

$A = P e^{rt}$

其中：

A 是最终金额
P 是初始本金
r 是年利率
t 是时间（年）

例如，假设某项投资年利率为 5%，5 年后本金 PPP 的增长为：

$A = P e^{0.05 \times 5} = P e^{0.25}$

5.2 微积分与微分方程

自然对数在求导时非常方便，例如：

$y = x^x$

对两边取自然对数：

$\ln y = x \ln x$

再求导：

$\frac{dy}{dx} = x^x (1 + \ln x)$

5.3 机器学习与信息论

交叉熵（Cross-Entropy）损失函数：

$H(p, q) = - \sum p(x) \ln q(x)$

在深度学习中，自然对数用于衡量模型预测概率与真实分布的差异。

5.4 放射性衰变

物质的半衰期（Half-life）由指数衰减公式表示：

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

两边取自然对数：

$\ln N(t) = \ln N_0 - \lambda$

这样可以方便求解衰变常数 λ。

6. 计算示例

示例 1：计算 $\ln 10$

已知：

$\ln 10 \approx 2.302$

即 要用 2.302 次 e 的幂运算才能得到 10。

示例 2：计算 x

已知：

$e^x = 5$

取自然对数：

$\ln(e^x) = \ln 5$

$x = \ln 5 \approx 1.609$

示例 3：求导

若：

$f(x) = \ln(3x^2 + 1)$

则导数：

$f'(x) = \frac{6x}{3x^2 + 1}$

7. 结论

自然对数 $\ln x$ 是以 e 为底的对数，在数学和科学中应用广泛。
欧拉数 e 是一项基本数学常数，约等于 2.71828。
自然对数的基本性质（如乘法变加法、指数变乘法）使其在计算和推导中极为重要。
自然对数在金融、物理、信息论、机器学习等领域都有重要应用。

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