【机器学习】机器学习中用到的高等数学知识-5. 函数空间和泛函分析 (Functional Analysis)

• 函数的连续性和可微性：在评估模型的学习能力和泛化能力时非常重要。
• 希尔伯特空间和巴拿赫空间：在支持向量机（SVM）和神经网络中用于理解高维数据。

1. 函数的连续性和可微性

函数的 连续性 和 可微性 是分析和优化模型的重要数学性质，在机器学习中，这些概念帮助我们评估模型的学习能力和泛化能力。

• 连续性：对于一个函数 f(x) 来说，如果在任意点 x = a 附近，f(x) 的输出变化是平滑且没有突变的，那么我们称 f(x) 在 a 处连续。这在机器学习中很重要，因为连续性保证了模型输出对输入变化的稳定性。

  数学上，函数 f(x) 在 x = a 连续的定义为：

  

• 可微性：如果 f(x) 在 x = a 处的变化率是有定义的，则称 f(x) 在 x = a 处是可微的。可微性比连续性更强，它确保了函数变化的可预测性和光滑性。在优化中，可微性允许我们使用梯度下降等方法来求解模型参数。

  可微性的定义是：函数 f(x) 在 x = a 处可微，当且仅当：