数值分析-雅克比迭代法

原创

于 2021-12-27 12:14:05 发布 · 1.5w 阅读

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#矩阵 #算法 #数学 #雅克比迭代法 #数值分析

本文介绍了雅克比迭代法的基本原理、计算流程及其在求解线性方程组中的应用。该方法以简单迭代公式为基础，通过矩阵分解进行计算，适合并行处理，但收敛速度较慢，存储需求较高。文中还提供了C语言实现的示例代码，用于求解特定线性方程组，并展示了其迭代过程直至达到预设精度。

雅克比迭代法

雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，其命名也是为纪念普鲁士著名数学家雅可比。雅克比迭代法的计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。

迭代过程

首先将方程组中的系数矩阵A分解成三部分，即：A = L+D+U，如图1所示，其中D为对角阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。
之后确定迭代格式，X^(k+1) = B*X^(k) +f ，（这里^表示的是上标，括号内数字即迭代次数），如图1所示，其中B称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为J。（k = 0,1，…）
再选取初始迭代向量X^(0)，开始逐次迭代。
在这里插入图片描述

收敛性

设Ax= b，其中A=D+L+U为非奇异矩阵，且对角阵D也非奇异，则当迭代矩阵J的谱半径ρ（J）<1时，雅克比迭代法收敛

优缺点

雅克比迭代法的优点明显，计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。然而这种迭代方式收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大
在这里插入图片描述

例题

在这里插入图片描述

程序算法

#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
int main()
{
   
   
    float e = 0.001, z, m, y[3];
    float b[3] = {
   
   -12, 20, 3};
    float x[3] = {
   
   0);
    float a[3][3] = {
   
   
        {
   
   5,  2,   1},
        {
   
   -1,

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