傅利叶变换及频域相关分析的详细推导【一】

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#傅里叶分析

于 2022-08-17 22:03:59 首次发布

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本文详细介绍了傅利叶级数的概念，通过周期信号的分解展示其基本公式，并将其推广至非周期信号的傅利叶变换，探讨了频谱的连续性和离散性变化。还介绍了从指数形式到频谱密度函数的推导过程，揭示了傅利叶变换在处理信号频域分析中的关键作用。

1.傅利叶级数

首先从傅利叶级数讲起。傅利叶级数的直观理解借助下图来进行解释。对于图1这样的原始周期信号，它可以分解成3个成谐波关系的正弦信号，如图2、3、4，这3个子信号相加就可以得到原始周期信号。能够表示原始信号的这样一组正弦子信号，就称为傅利叶级数。与原始周期信号的频率相同的分量称为基波，其他分别称为二次、三次等各次谐波。
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如何通过原始信号来求的傅利叶级数呢？最基本的公式是这样的： $\frac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_ncos(nw_0t) + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_nsin(nw_0t) \tag{1.1}$ $a_n = \frac 2T \int _{-\frac T2}^{\frac T2} f(t)cos(nw_0t)dt \tag{1.2}$ $b_n = \frac 2T \int _{-\frac T2}^{\frac T2} f(t)sin(nw_0t)dt \tag{1.3}$ 在介绍了上述公式后，我们得到了周期信号的傅利叶级数。基波与谐波有着各自的幅值和相位，把基波与谐波的频率作为横坐标，y轴选择幅度时，得到的是幅度频谱；y轴选择相位时，得到的是相位频谱。
幅度谱和相位谱
为了表示的方便，可以利用欧拉公式得到指数形式的傅利叶级数。是怎么推导得来的呢？首先我们有如下一组三角函数的替换公式： $sin(nw_0t)= \frac{1}{2j}(e^{jw_0t}-e^{-jw_0t}) \tag{1.4}$ $cos(nw_0t)= \frac{1}{2}(e^{jw_0t}+e^{-jw_0t}) \tag{1.5}$ 那么求和项就可以表示成： $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_ncos(nw_0t) + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_nsin(nw_0t) \tag{1.6}$ $=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(\frac 12(a_n-jb_n)e^{jnw_0t}+\frac 12(a_n+jb_n)e^{-jnw_0t}) \tag{1.7}$ 这里的索引是从1到n。我们注意到 $a_{-n}=a_n$ ， $b_{-n}=-b_n$ 。因此 $∑n=1∞12(an+jbn)e−jnw0t\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac 12(a_n+jb_n)e^{-jnw_0t}$ 又可以表示成 $∑n=−1−∞12(an−jbn)ejnw0t\displaystyle \sum_{n=-1}^{-\infty}\frac 12(a_n-jb_n)e^{jnw_0t}$ 。这样就可以和前一项统一起来， $f (t)$ 可以写成： $f(t)=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac 12(a_n-jb_n)e^{jnw_0t} \tag{1.8}$ 令 $Fn=12(an−jbn)F_n=\frac 12(a_n-jb_n)$ ，那么指数形式的表示方法就显而易见了： $f(t)=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{jnw_0t} \tag{1.9}$ 得到的 $F_n$ 为信号的频谱，为什么呢？由于 $F_n$ 为复数，因此可以写成 $Fn=∣Fn∣ejϕnF_n=|F_n|e^{j\phi_n}$ ，其中， $tan(ϕn)=−bnantan(\phi_n)=-\frac {b_n}{a_n}$ ，也就是复数的虚部比实部，那么 $ϕn−w\phi_n-w$ 就是信号的相位谱了。而 $F_n$ 的模 $F_n|$ 为 $12a2+b2\frac 12 \sqrt {a^2+b^2}$ ，又因为 $F_n$ 的 $n$ 值从 $−∞-\infty$ 到 $∞\infty$ ，所以这样表示的是一个双边谱。归纳起来就是，双边谱幅值变为单边谱的一半，相位谱关于原点奇对称。以上便是傅利叶级数相关的主要内容。

2.傅利叶变换

对于周期信号，我们可以对信号进行分解，通过傅利叶级数得到基波和各次谐波。那对于非周期信号呢？自然而然地联想到，非周期信号，其实是周期趋近于无穷大的一个信号。有这样一个规律，基波的频率与原始信号是一致的，设为 $w_0$ ，当原始信号的周期越长，那么 $w0=2πTw_0=\frac {2\pi}{T}$ 反而会变得越小，当周期取到无穷长时，可以将 $w_0$ 视为连续的。因此，不难得出，周期信号的频谱是离散的，而非周期信号的频谱是连续的。下面通过傅利叶级数来推导傅利叶变换的公式。
首先，第1节中式(1.9)介绍了指数形式的傅利叶级数表示方式，其中 $Fn=12(an−jbn)F_n=\frac 12(a_n-jb_n)$ ，结合公式(1.2)和(1.3)，可以得到式(2.1)： $F_n=\frac 12(a_n-b_n)=\frac 1T \int _{-\frac T2}^{\frac T2}f(t)(cos(nw_0t)-jsin(nw_0t))dt=\frac 1T \int _{-\frac T2}^{\frac T2}f(t)e^{-jnw_0t}dt$ 等式两边同时乘以 $T$ ，得到 $F(nw0)T=2πF(nw0)w0=∫−T2T2f(t)e−jnw0tdtF(nw_0)T=\frac {2 \pi F(nw_0)}{w_0}=\int _{-\frac T2}^{\frac T2}f(t)e^{-jnw_0t}dt$ 。当 $T$ 趋近于 $∞\infty$ 时， $w_0$ 非常小，而 $nw_0$ 就可以看成是连续的变量 $w$ 。对该式取极限，并将其记为 $F (w)$ ： $F(w)=\lim _{T \to \infty}F(nw_0)T=\lim _{w_0 \to0}\frac {2\pi F(nw_0)}{w_0} \tag{2.2}$ 将式中的 $lim⁡w0→0F(nw0)w0\lim _{w_0 \to0 }\frac {F(nw_0)}{w_0}$ 这一项提取出来，它表示单位频带的频谱值——频谱密度，因此 $F (w)$ 又称为频谱密度函数。现在回到傅利叶变换上来，根据式(2.1)和(2.2)，我们可以进一步得到： $\lim _{T \to \infty }\int _{-\frac T2}^{\frac T2}f(t)e^{-jnw_0t}dt=\int _{-\infty }^{\infty}f(t)e^{-jwt}dt \tag{2.3}$ 从而我们就得到了非周期信号的傅利叶变换公式。