2022.8.2 模拟赛

T1 取石子

  我们就让甲先行动一步，则会产生先拿 $a$ 和先拿 $b$ 两种结果。这样问题就转化成了总数为 $n-a$ 或者 $n-b$，乙先手问后手是否必败。我们令 $f_i$ 表示石子数位 $i$ 时先手是否必胜，则有：

$$f_i=1-(f_{i-a}\vee f_{i-b})$$

  这样直接递推显然不行，所以我们考虑找找规律。打表发现 $f$ 时循环的，所以我们考虑证明 $f$ 循环的性质（循环节时 $a+b$）。

  这个循环其实也挺显然的，要证循环那么就是证明 $f_{a+b+i}=f_i$，那么分两种情况，如果 $f_i=0$，那么后手必胜，那么在局面为 $a+b+i$ 的时候只要乙和甲拿相反的东西就能让局面回到 $f_i$，于是还是后手必胜： $f_{a+b+i}=f_i=0$。$f_i=1$ 的情况同理。

  于是我们可以在最开始把 $n$ 模上 $a+b$，然后再进行处理（下文的 $n$ 都是进行过取模操作之后的 $n$）。

  我们不妨设 $a>b$，在我们会发现，先手必胜的条件首先一个先显然的就是 $n>\max (a,b)=a$，因为先手可以拿走 $a$，又因为 $n\in [a,a+b)$，所以剩下的数等于 $n-a\in [0,b)$，所以乙就不可能拿走任何东西了。

  所以，条件一：$n\in [a,a+b)$。

  还有一个条件是 $n\in [b,2b)\cup [3b,4b)\cup [5b,6b)\cup \cdots$，也就是 $n\in [(2k-1)b,2kb),k\in N^{\ast }$，因为此时 $n<a$，所以双方都只能拿 $b$，所以只要是奇数个 $b$ 就一定是先手赢。

  所以第二个条件 $\lfloor \frac{n}{b}\rfloor \mathrm{mod}2=1$

  这样就是 $O(1)$ 判断，然后我们就可以 $O(T)$ 解决问题了。

T2

  考试的时候写的二分答案，结果 $WA$ 了，二分答案的正确性不能保证：

  $hack$：$100,90,84,55,47,44,41,41,30,30,5$

  $w=189$ 的时候第一次 $100+84+5=189$，第二次 $90+55+44=189$，第三次 $47+41+41+30+30=189$。

  $w=190$ 的时候第一次 $100+90=190$，第二次 $84+55+47=186$，第三次 $44+41+41+30+30=186$，第四次 $5$。

  这样就不是单增的了，所以二分答案的正确性无法保证。但是为什么是错的呢，是因为每次装是贪心的装而不是 $dp$（背包）的装法，所以会首先把大的放进去，导致下一次有小的放不进去，会浪费空间。

  虽然不能直接二分答案，但是我们可以找到替代方案，我们可以证明对于 $A=\underset{i=1}{\overset{n}{\max }}{a}_i$，$w+A$ 一定比 $w$ 更优。因为在这种情况下，每一条船所装的袋数均不会下降。

  所以我们可以在二分答案过后再暴力验证答案周围的 $A$ 个位置来确保是正确的。

T3

  不知道为什么今天有两道循环的题。

  看这个数据范围 $k\le 1e9$，似乎也没有什么算法能 hold 的注这个数据范围（除了一些 $O(\log n)$ 的小算法），所以我们还是打表找规律。

  我们发现其中有 $20pts$ 是 $n=1$ 的时候，所以我们稍微手算几个自己造的样例就会发现 $n=1$ 的时候是会循环的，就比如：

$$4\to 3,1\to 2,2\to 2,1,1\to 3,1\to \cdots$$

  所以我们考虑证明循环的正确性：

  因为石子个数有限，并且产生的所有情况下石子数量和都是固定的数字。又因为显然任意一个数字 $m$ 的拆分数是有限的，所以情况数是有限的。所以只要 $k$ 足够大，我们就必定会回到以前出现过的情况，也就会产生循环。

  现在的问题就在于循环节，如果循环节不是很长的话就可以直接打表了。

  然后就要证明循环节长度，但是 $TJ$ 的证明是势能分析，然后我也没看懂，所以就不证了吧qwq。具体来说就是先要操作 $S=\sum _{i=1}^n{a}_i$ 次进入循环节，然后循环节是 $mx=\underset{i=1}{\overset{n}{\max }}(i+a_i)-1$。

T4

  考场上暴力都不会打…