2.5-2.6 导数

导数 Derivatives

举例 f(a) = 3a

当a=2时，f（a）=6
当a=2.001时，f（a）=6.003

图中绿色三角形表示==>
如果a的值向右移0.001，则f（a）增加0.003的值，即3倍于a向右移的量。==>
f(a) 的斜率slope（导数derivative）在a=2时，斜率为3，这里的导数几乎就意味着斜率。
更正式的斜率定义，高除以宽，即上例中0.003/0.001 = 3，即斜率（导数）等于3。

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假设a = 5，f（a）=15
假设a = 5.001，f（a）=15.003
f(a) 的斜率slope（导数derivative）在a=5时，斜率也为3。
==> df(a)/da = 3 = (d/da) f(a)

导数的定义就是，即使a增加或减少一个不可度量的值（无限小的值），f(a)也会增加一个非常非常小的值的3倍。
除此之外，函数在任何地方的斜率都是相同的，例如无论你将这个小三角形画在哪里，它的高除以宽的比值都是相同的。

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复杂的例子
f(a) = a^2

当 a = 2时 ， f(a) = 4
当 a = 2.001时 ， f(a) = 4.004(精确值为4.004001)
在图上表示这两点 ==>

这里，做出a=2相应的点之后，无法确定x轴与y轴的比例。

做出a=2.001的对应点。

再做出这个绿色的小三角形。与之前相同，如果把a右移0.001，那么f（a）将增大四倍，即增大0.004。
==>
f(a) 的斜率slope（导数derivative）在a=2时，导数为4 ==>
a=2 , (d/da) f(a) = 4

当 a = 5时 ， f(a) = 25
当 a = 5.001时 ， f(a) = 25.010
a=5 , (d/da) f(a) = 10
// 0.001 与 0.01

如果在f(a) = a^2的曲线上，做其他的小三角形，会发现，每个地方所计算出来的斜率（导数）都是不同的。
微积分中的通用公式 ==>
df(a) = (d/da) a^2 = 2a

这意味着，任意给定一点a，如果将a增加0.001，则f(a)将增大2a。

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举例 f(a) = a^3
微积分中的通用公式 ==>
df(a) = (d/da) a^3 = 3a^2
==> a = 2, f(a) = 8
a = 2.001, f(a) ≈ 8.012

当a=2时，导数为 3 x 2^2 =12 ==>
当a 增加0.001 时 ，倒数的值 扩大12倍为0.012

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举例 f(a) = log(a)
微积分中的通用公式 ==>
df(a) = (d/da) log(a) = 1/a
==> a = 2, f(a) ≈ 0.69315
a = 2.001, f(a) ≈ 0.69365

当a=2时，导数为0.5 ==>
当a增加0.001时，导数的值增加（0.001的一半）0.0005.

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综上所述

1. 函数的导数就是函数的斜率，这个斜率在不同的点是不同的，直线函数除外。对于其他非直线函数，它们的斜率是变化的，它们的导数或者斜率在曲线上不同的点处是不同的。
2. 大多数函数的导数都是有公式可查的。