【LeetCode】2929. 给小朋友们分糖果 II（组合数学|递归|枚举）

题目描述

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给你两个正整数 n 和 limit 。

请你将 n 颗糖果分给 3 位小朋友，确保没有任何小朋友得到超过 limit 颗糖果，请你返回满足此条件下的 总方案数 。

示例 1：

输入：n = 5, limit = 2
输出：3
解释：总共有 3 种方法分配 5 颗糖果，且每位小朋友的糖果数不超过 2 ：(1, 2, 2) ，(2, 1, 2) 和 (2, 2, 1) 。

示例 2：

输入：n = 3, limit = 3
输出：10
解释：总共有 10 种方法分配 3 颗糖果，且每位小朋友的糖果数不超过 3 ：(0, 0, 3) ，(0, 1, 2) ，(0, 2, 1) ，(0, 3, 0) ，(1, 0, 2) ，(1, 1, 1) ，(1, 2, 0) ，(2, 0, 1) ，(2, 1, 0) 和 (3, 0, 0) 。

提示：

1 <= n <= $10^6$
1 <= limit <= $10^6$

递归解法推导

• 考虑更通用的场景：$n$ 颗糖果分给 $x$ 个人，每个人最多 $limit$ 颗糖果。

• 整体思路框架：使用递归的方式搜索合法的分配方式进行汇总统计。

• 递归解法推导：

  • 定义$dfs(n,x,limit)$为 “ $n$ 颗糖果分给 $x$ 个人，每个人最多 $limit$ 颗糖果” 的方案数。对于当前的人，我们尝试给他分 $i$ 颗糖果，由于每个人最多 $limit$ 颗糖果，当前剩余糖果数量为 $n$ ，所以 $i\in [0,\min (\text{limit},n)]$，得到递归公式为 $\text{dfs}(n,x,\text{limit})={\sum }_{i=0}^{\min (\text{limit},n)}\text{dfs}(n-i,x-1,\text{limit})$。
  • 递归终止条件为$x=1$，也就是分到最后 $1$ 个人的时候结束分配。前面的人都分配到了糖果（且前面的人分到的糖果数量都小于等于 $limit$ ，都是合法的取值），剩余的糖果就只能分配给最后一个人。如果剩余的糖果数量小于等于 $limit$ ，则形成一种合法的分配方案，返回 $1$ 即可。如果剩余的糖果数量大于 $limit$，则当前分配不合法，返回 $0$ 。
  • 下界优化：分析当前这个人最少能分几颗糖果。尽量让其他人多分糖果，那当前这个人分到的糖果就是最少。其他人都按最多的 $limit$ 分，则当前这个人最少要分的数量为 $n-(x-1)\ast limit$。最终优化后的递归公式为 $\text{dfs}(n,x,\text{limit})={\sum }_{i=\max (0,n-(x-1)\cdot \text{limit})}^{\min (\text{limit},n)}\text{dfs}(n-i,x-1,\text{limit})$
  • 时间复杂度分析：$n$ 个人都尝试分配 $i$ 颗糖果，且 $i\in [\max (0,n-(x-1),\min (\text{limit},n)]$，所以复杂度粗略为 $limi{t}^n$。

• 数学逻辑优化：

  • $x$ 个人，每个人最多分 $limit$ 颗糖果。假如每个人都按最多的数量分，那糖果数为 $x\ast limit$ 。当糖果数量 $n>(x\ast limit)$ 时，在 “每个人最多分 $limit$ 颗糖果” 的条件下，糖果怎么也分不完，所以不存在合法方案，直接返回 $0$

• 基于上述的分析推导，得到如下Java代码：

class Solution {
    public long distributeCandies(int n, int limit) {
        return dfs(3, n, limit);
    }

    public long dfs(int x, int n, int limit) {
        if (x == 1) {
            return n <= limit ? 1L : 0L;
        }
        if (n > x * limit) {
            return 0;
        }
        long res = 0L;
        int l = Math.max(0, n - (x - 1) * limit), r = Math.min(limit, n);
        for (int i = l; i <= r; i++) {
            res += dfs(x - 1, n - i, limit);
        }
        return res;
    }
}

• 提交结果：当前解题方法时间复杂度较高，提交后超出时间限制。超出时间限制 522 / 958 个通过的测试用例。

超时解决

• 经过“数学逻辑优化” 优化后，部分不合法的分配会被提前终止。经过 “下界优化” 后，每个人分配 $i$ 颗糖果 $i\in [\max (0,n-(x-1),\min (\text{limit},n)]$，$i$的取值都是合法取值。
• 当给倒数第二个人分配糖果的时候，方案数其实就已经确定了。根本不需要再递归到 $x=1$。当$x=2$时，$\min (\text{limit},n)-\max (0,n-(x-1)+1$ 就是方案数。也就是把递归终止条件改为$x=2$即可，$x=2$ 时直接返回 $\min (\text{limit},n)-\max (0,n-(x-1)+1$

AC代码

class Solution {
    public long distributeCandies(int n, int limit) {
        return dfs(3, n, limit);
    }

    public long dfs(int x, int n, int limit) {
        if (n > x * limit) {
            return 0;
        }
        int l = Math.max(0, n - (x - 1) * limit), r = Math.min(limit, n);
        if (x == 2) {
            return r - l + 1L;
        }
        long res = 0L;
        for (int i = l; i <= r; i++) {
            res += dfs(x - 1, n - i, limit);
        }
        return res;
    }
}