51Nod 1242 斐波那契数列的第N项——————矩阵快速幂

1242 斐波那契数列的第N项

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斐波那契数列的定义如下：

$$\begin{gathered} F(0)=0 \\ F(1)=1 \\ F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2) \end{gathered}$$

$(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...)$
给出$n$，求$F(n)$，由于结果很大，输出$F(n)\%1000000009$的结果即可。

Input
输入1个数n(1 <= n <= 10^18)。
Output
输出$F(n)\%1000000009$的结果。

Input示例
11
Output示例
89

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矩阵快速幂模板

矩阵

数学上，一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。

大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。

矩阵乘法

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有定义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。若A为$m\times n$ 矩阵，B为$n\times p$ 矩阵，则他们的乘积$AB$(有时记做$A\cdot B$）会是一个 $m\times p$ 矩阵。其乘积矩阵的元素如下面式子得出：
$$(AB{)}_{ij}=\sum _{r=1}^n{a}_{ir}{b}_{rj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}.$$

线性递推关系与矩阵乘法

设数列 $h_n$ 满足 $k$ 阶常系数线性递推关系：
$h_n=C_1{h}_{n-1}+C_2{h}_{n-2}+C_3{h}_{n-3}+\cdot \cdot \cdot +C_k{h}_{n-k}+b_n$
$b_n$ 可以为常数，也可以是关于n的函数

若 $b_n$为常数，则构造转移矩阵
$$M={\left(\begin{array}{ccccccc}{C}_1& C_2& C_3& \cdots & C_{k-1}& C_k& \\ & & & & & & b_n\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 0& \\ & & & & & & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& 1\end{array}\right)}_{(k+1)\times (k+1)}$$
与初始向量
$$X={\left(\begin{array}{c}{h}_{k-1}\\ h_{k-2}\\ h_{k-3}\\ ⋮\\ h_2\\ h_1\\ h_0\\ 1\end{array}\right)}_{(k+1)\times 1}$$
易见
$$X=\left(\begin{array}{ccccccc}{C}_1& C_2& C_3& \cdots & C_{k-1}& C_k& \\ & & & & & & b_n\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 0& \\ & & & & & & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{h}_{k-1}\\ h_{k-2}\\ h_{k-3}\\ ⋮\\ h_2\\ h_1\\ h_0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{h}_k\\ h_{k-1}\\ h_{k-2}\\ ⋮\\ h_3\\ h_2\\ h_1\\ 1\end{array}\right)$$
事实上我们可以发现，对于任意的 $k$ 阶常系数线性递推关系，我们总可以构造一个 $k\times k$ 或 $(k+1)\times (k+1)$ 的转移矩阵 $M$, 对于初始值向量
$$X={\left(\begin{array}{c}{h}_{k-1}\\ h_{k-2}\\ h_{k-3}\\ ⋮\\ h_2\\ h_1\\ h_0\end{array}\right)}_{k\times 1}或{\left(\begin{array}{c}{h}_{k-1}\\ h_{k-2}\\ h_{k-3}\\ ⋮\\ h_1\\ h_0\\ b_n\end{array}\right)}_{(k+1)\times 1}$$
使得$Y=M^{n-k+1}X$ 第一行第一列的元素恰好为 $h_n$。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAX_N = 10;
const int MOD = 1000000009;
ll N;//矩阵的大小
ll b_n=0;//常数
ll C[MAX_N];//系数
ll h[MAX_N];//
struct mat{ll m[MAX_N][MAX_N]; };

mat mul(mat a,mat b)//矩阵乘法
{
        mat tmp;
        for(int i=1;i<=N;i++)
                for(int j=1;j<=N;j++)
                {
                        tmp.m[i][j]=0;
                        for(int k=1;k<=N;k++)
                                tmp.m[i][j]=(tmp.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%MOD;
                }
        return tmp;
}
mat pow_mod(mat a,ll n)
{
        mat res;
        //构造单位矩阵,res相当于快速幂里的 1
        for(int i=1;i<=N;i++)
                for(int j=1;j<=N;j++)
                        res.m[i][j] = (i==j);

        //矩阵快速幂
        while(n)
        {
                if(n&1) res = mul(res,a);
                a = mul(a,a);
                n>>=1;
        }
        return res;
}
void init(mat &res,mat &H)//矩阵的初始化
{
        for(int i=1;i<=N;i++)
                res.m[1][i] = C[i];
        res.m[1][N]=b_n;
        //构造矩阵
        for(int i=2;i<=N;i++)
                for(int j=1;j<=N;j++)
                        res.m[i][j] = (i==j+1);

        res.m[N][N-1] = 0;
        res.m[N][N] = 1;

        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
                H.m[i][1] = h[N-i];
                for(int j=2;j<=N;j++)
                        H.m[i][j] = 0;
        }
        H.m[N][1]=1;
}

void slove(ll k,ll n)
{
        mat res,H;
        init(res,H);

        res = pow_mod(res,n-k+1);
        res = mul(res,H);
        ll ans=res.m[1][1];

        printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
        ll n,k=2;
        C[1]=1;
        C[2]=1;
        N=k+1;
        h[1]=0;
        h[2]=1;
        while(~scanf("%lld",&n))
                slove(k,n);
        return 0;
}