51Nod 1126 求递推序列的第N项——————矩阵快速幂

最新推荐文章于 2021-08-18 10:17:57 发布

陶鸿杰

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分类专栏：矩阵快速幂算法模板

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本文介绍了一种求解特定递推序列第N项的高效算法，通过矩阵快速幂的方法，解决了大规模数值下求解递推序列的问题。适用于数学算法竞赛及计算机科学领域的递归序列求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1126 求递推序列的第N项

基准时间限制：1 秒
空间限制：131072 KB
分值: 10
难度：2级算法题

有一个序列是这样定义的： $\;mod\; 7.$
给出A，B和N，求 $ f(n) \;f(n)\;$ 的值。

Input

输入3个数： $A, B, N$ 。数字之间用空格分割。 $10000 <= A, B <= 10000, 1 <= N <= 10^9)$

Output

输出f(n)的值。

Input示例

3 -1 5

Output示例

我们知道：
$1\\ f(2) = 1\\ f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2))$
可以构造矩阵：
$(AB10)×(fn−1fn−2)=(fnfn−1)\large \begin{pmatrix}A & B\\ 1 & 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}f_{n-1}\\f_{n-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_{n}\\f_{n-1}\end{pmatrix}$

因为：
$(AB10)×(f2f1)=(f3f2)\large \begin{pmatrix}A & B\\ 1 & 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}f_{2}\\f_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_3\\f_2\end{pmatrix}$
所以
$(AB10)n−1×(f1f2)=(fnfn−1)\large \begin{pmatrix}A & B\\ 1 & 0\end{pmatrix}^{n-1}\times\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_{n}\\f_{n-1}\end{pmatrix}$


/*

        f[1]=1;
        f[2]=1;
        f[n]=A*f[n-1]+B*f[n-2];

        A,B,n
        f[n]%7;

*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 11;
const int MOD = 7;

ll N;
ll b_n=0;
ll C[MAXN];
ll h[MAXN];

struct mat{ll m[MAXN][MAXN];};

mat mul(mat a,mat b)
{
        mat tmp;
        for(int i=1;i<=N;i++)
                for(int j=1;j<=N;j++)
                {
                        tmp.m[i][j]=0;
                        for(int k=1;k<=N;k++)
                                tmp.m[i][j]=(tmp.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j]+MOD)%MOD;
                }
        return tmp;
}
mat pow_mod(mat a,ll n)
{
        mat ans;
        for(int i=1;i<=N;i++)
                for(int j=1;j<=N;j++)
                        ans.m[i][j]=(i==j);
        while(n)
        {
                if(n&1) ans=mul(ans,a);
                a=mul(a,a);
                n>>=1;
        }
        return ans;
}
void init(mat &res,mat &H)
{
        for(int i=1;i<=N;i++)
                res.m[1][i]=C[i];
        res.m[1][N]=b_n;

        for(int i=2;i<=N;i++)
                for(int j=1;j<=N;j++)
                        res.m[i][j]=(i==j+1);
        res.m[N][N-1]=0;
        res.m[N][N]=1;
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
                H.m[i][1]=h[N-i];
                for(int j=2;j<=N;j++)
                        H.m[i][j]=0;
        }
        H.m[N][1]=1;
}
void slove(ll k,ll n)
{
        mat res,H;
        init(res,H);
        res=pow_mod(res,n-k+1);
        res = mul(res,H);
        ll ans=res.m[1][1];

        printf("%lld\n",ans%MOD);
}

int main()
{
        h[1]=1;
        h[2]=1;
        ll k=2;
        ll n,A,B;
        while(~scanf("%lld %lld %lld",&A,&B,&n))
        {
                C[1]=A;
                C[2]=B;
                N=k+1;
                slove(k,n-1);
        }
        return 0;
}