青蛙的约会POJ1061——同余定理+逆元

最新推荐文章于 2019-10-04 21:33:06 发布

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同余定理+逆元

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本文探讨了一个有趣的数学问题：两只在线相识的青蛙决定通过跳跃来相遇。文章提供了算法解决方案，利用扩展欧几里得算法确定两蛙能否及何时相遇。

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青蛙的约会
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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input

输入只包括一行5个整数 $x\ ，\ y\ ，m\ ，n\ ，\ L$ ，其中 $x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000$ 。
Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”
Sample Input

1 2 3 4 5
Sample Output

假设青蛙A，B能跳跃 $\ t\$ 次能够碰面，那么这两只青蛙走的路程可以写成

(x + m t) m o d L = (y + n t) m o d L

$(x+mt)\ mod\; L=(y+nt)\ mod\; L$ 即

x + m t = y + n t + k L

$x+mt=y+nt+kL$ 化成

a x + b y = c

$ax+by=c$ 的形式

(m - n) t + k L = y - x

$(m-n)t+kL=y-x$ 其中

⎧ ⎩ ⎨ a = m - n b = L c = g c d (m - n, L)

$\begin{cases} a=m-n & \\ b=L & \\ c=gcd(\;m-n\ ,L) \end{cases}$
所以，如果

y−xy−x $y-x$ 是

cc $c$ 的倍数的话，那么方程

x + m t = y + n t + k L

$\;x+mt=y+nt+kL\;$ 有解，即两只青蛙能碰面，否则输出

ImpossibleImpossible $Impossible$

$code\dots$

#include<iostream> 
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll r=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return r;
}

int main()
{
    ll x,y,m,n,l;
    while(cin>>x>>y>>m>>n>>l)
    {
        ll X,Y;
        ll d=exgcd(n-m,l,X,Y);
        ll r=l/d;
        if((x-y)%d) printf("Impossible\n");
        else        printf("%lld\n",((x-y)/d*X%r+r)%r);
    }
    return 0;
}