3的幂的和 51Nod - 1013——同余定理+逆元

最新推荐文章于 2019-12-06 21:23:31 发布

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本文介绍了一种高效计算3的幂次和的算法，并通过使用逆元和费马小定理来解决大数模运算的问题。文章提供了一个C++实现示例，包括快速幂、扩展欧几里得算法及逆元的计算。

3的幂的和
基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题收藏关注
求： $3^0 + 3^1 +...+ 3^N \; mod \;1000000007$
Input
输入一个数 $N(0 <= N <= 10^9)$
Output
输出：计算结果
Input示例
3
Output示例
40

这道题看起来像是让计算等比数列求和的

a n s = 3 N + 1 - 1 2

$ans=\frac{3^{N+1}-1}{2}$ 但是这样做的话我是直接错了，后来想到用逆元的方法来计算这一道题

a n s = (3 N + 1 - 1) * x

$ans=(3^{N+1}-1)*x$ 其中

2 x \equiv 1 m o d 1000000007

$2x\equiv1\;mod\;1000000007$
所以求出

xx $\;x\;$ 就能解决这个问题，

xx $x\;$ 可以利用费马小定理求出

x = 21000000005 m o d 1000000007

$\;x=2^{1000000005}\; mod\; 1000000007$ 或者用拓展欧几里得算法求，即解方程

2 x + 1000000007 y = 1

$2x+1000000007y=1$

code



//#include<bits/stdc++.h>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll pow_mod(ll a,ll b,ll c)
{
    ll ans=1;
    a%=c;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%c;
        a=a*a%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
 } 

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll r=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return r;
}

ll inv(ll a,ll mod)
{
    ll x,y;
    ll d=exgcd(a,mod,x,y);
    if(d==1)    return (x%mod+mod)%mod;
    return -1;
}

int main()
{
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        ll ans=(pow_mod(3,n+1,1000000007)-1)*inv(2,1000000007)%1000000007;
        printf("%lld\n",ans%1000000007);
    }
    return 0;
}