爆刷PAT（甲级）——之【1003】 Emergency (25)——最短路简单变形

题意：   N个城市M条边，边是无向变。每个边有权值，以及每个城市都有某个数量的人。

       给出起点城市和终点城市，要求从起点到终点的最短距离条件下的—— 路径数，以及最多能捎上多少人！（路径上城市的人数和最大）

难点：

      数据量N小于500。作为PAT第三题，是最短路的路径数问题以及小变形。Dijkstra、Bellman什么的基本操作都学过，但是一是忘了大半，二是没有吃透。所以今天做这个简单的小变形，1个半小时还没有做出来。较难以理解如何    “在松弛点上如何变形”  。 

      参照了别人的AC代码，果不其然是在松弛点上操作。要分别将 “路径数”的维护操作  以及  “路径经过的最大人数”  维护操作，在松弛操作时候一同联系进去，说实话，虽然知道代码怎么写，但还是没有理解为什么可以这样。。。。

      这种小变形应该是算很简单的小变形， 以至于各位江湖朋友写博客都不写为什么这么写，往往只是写 “Dijkstra的小变形” 。。。。emmmm   ，睡了一觉，第二天清醒 的脑袋，一下就理解了为什么可以这样写。。。虽然我还是解释不清啊。。。

 

1、本题我使用的是Dijkstra算法

2、每一轮找到最近未标记过点u之后，按照Dijkstra算法，接下来是用点u去尝试松弛剩下的所有点。在这里：

  如果通过点u，无法松弛某点 i ，但是路径大小相同，那么这可能就是一条新的最短路径，那么到达 i 点的方法数 = 自己原本的值 + 到u点方法数 。

  如果通过点u，无法松弛某点 i ，但是路径大小相同，说明当前路径是最短路径的一条！所以还要考虑，对“最短路径”的最大人数进行维护。 如果  (到u点时能捎上的最大人数  +  i点本身城市驻扎人数)  > (当前记录的 i 点能捎上的最大人数) ，就更新这个值。

  如果 可以通过点u，松弛某点 i 时，那么此点的最短路径必然更新，如果最短路径都更新了，那么  最大人数  肯定也要 “覆盖” ！

3、 我写的Dijkstra模板比较懒，写完以后，跑出来的“最大人数”的结果一直都比样例大。百思不得其解。观摩了别人的AC代码之后，才最后终于明白是因为我的代码里，松弛的循环部分少了 一句 （if(!book(i))） ，加上就AC了。但是，为什么呢？

想了一会明白——我精简这个模板的时候，可以删去了这句话，是因为，只讨论最短路的Dijkstra时候，每一次被选中的松弛点，必然是没有被标记过的剩下的点中，和起点距离最近的点！这是Dijkstra找 松弛点的算法本质。  而下一步的松弛循环中，用松弛点对松弛点本身进行松弛，是不会影响结果的！

但是，对最短路进行变形的时候，因为引入了一个 “最大人数” 的维护与讨论，在松弛阶段，用松弛点对松弛点进行松弛的话，会导致 “误判” 的，对 “最大人数” 的重新累加。就会导致结果翻倍！

也就是说，如果我把代码的（if(!book(i))） 改成 （if( i!=u  )） 也是可以的！因为他们的目的都已经达到了，就是不对松弛点u重新松弛即可！

 

终于AC了，学到了学到了。我对Dijkstra还是不够了解呐。

Code:

我的这个代码中，用的就是if( i!=u  )来防止松弛点重复松弛了，给自己一个警戒。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define inf 509
#define INF 0x3f3f3f3f
#define loop(x,y,z) for(x=y;x<z;x++)

int n,m,s,g;
int men[inf];//每个城市的救援人数
int path[inf][inf];//路径矩阵
int book[inf],dis[inf],rescue[inf];//标记，最短距离，以及到i城市最多能集合多少救援人员
int num[inf];

void Input()
{
    int i,j,u,v,t;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&g);

    loop(i,0,n)         //忘记输入n后初始化了。。
        loop(j,0,n)
        path[i][j]=(i==j)?0:INF;
    memset(book,0,sizeof book);
    memset(num,0,sizeof num);//初始化方法数，起点为1
    num[s]=1;//起点到达方法数初始化为1

    loop(i,0,n)scanf("%d",&men[i]);
    loop(i,0,m)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&t);
        path[u][v]=path[v][u]=t;
    }
}

void Dijkstra()
{
    int i,j,k,u,mini;

    loop(i,0,n)dis[i]=path[s][i];
    rescue[s]=men[s];      //要初始化

    loop(j,0,n)
    {
        mini=INF;
        loop(i,0,n)
            if(!book[i]&&dis[i]<mini)
                mini=dis[u=i]; //找最小
        book[u]=1;//标记
        //松弛
        loop(i,0,n)// !book[i]
        if(i!=u){
            if(dis[i]>dis[u]+path[u][i])
            {
                dis[i]=dis[u]+path[u][i];//缩短边
                num[i]=num[u];

                //如果当前的路径是最短路，那么路径上的救援人数当然应重新赋值
                //因为以前的救援人数已经不是“最短的路径”上的了
                //救援队最大队伍，等于能到达U点的人数，加上I点城市自己的人数
                rescue[i]=rescue[u]+men[i];
            }
            else if(dis[i]==dis[u]+path[u][i])
            {
                //如果通过u点到达i点的距离相同，
                //那么到达u点的方法数就会累加到到达i点的方法数上
                num[i]+=num[u];

                //如果当前路径也是最小的，那么就要判断（维护）当前的最大救援人数值了
                rescue[i]=max(rescue[i],rescue[u]+men[i]);
            }
        }
    }
}

void Output()
{
    printf("%d %d\n",num[g],rescue[g]);
}

int main()
{
    Input();
    Dijkstra();
    Output();
    return 0;
}