UVA 1730 Sum of MSLCM 【数学】【二分】

最新推荐文章于 2022-08-18 19:31:55 发布

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#UVA 1730 Sum of MSLCM #C 编程 #数学、二分 #算法学习训练 #基础算法编程

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本文介绍了一种解决UVA在线评测中特定因子和问题的有效算法。通过观察每个数i在所有因子中出现n/i次的规律，利用二分查找优化求解过程，将时间复杂度大幅降低。

题目链接：https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4926

题目大意：定义一个数的所有因子（包括自身也包括1）的和，为这个数的MLCM。题目要求的是，给出一个n，1<n<20000001,求出从2到n的所有数（以下找规律时是算进了1，结果出来后会减掉）的 MLCM的和。

多组输入数据。每组最多有100个。

恕我愚昧，这道题我想了好几次，都没有思路便草草放弃，今天终决心啃下来，没想到A了。

起初先想到是唯一分解定理。求一个数的所有因子和问题，然后O（n）的时间全部累加起来。然而发现算上数据组数 10^9必然是超时结局。

百般无奈之下，百度了一下众位大佬的思路，结果有一种方法是类似埃及筛法的暴力打表法，还有一种是用了神奇的因式分解，还有一种是二分......

最后，都没有看懂。

但是有一句话突然让我注意到了一点，（很好奇是怎么发现的）任何一个数 i ，在题意要求的的所有因子里面出现了 n/i 次。

（再强调。。这里整理思路的时候是加了 1的，后面结果会减掉）

也就是说，第一个样例里面 10，满足题意的所有因子中

1出现了10次

2出现了5次

3出现了3次

4出现了2次

5出现了2次

6出现了1次

7、8、9、10都只出现了1次

发现从1到10，出现的次数都是顺序递减的。而接下来的操作只要 把每个因子乘以它出现个数，全部加起来 就是题意所求了。

这样求出各个因子的值并且相加，还是O（n）啊。

对于每个因子从 1 , 2 , 3 , 4 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ， ....... ，n 他们的出现次数由大到小递减。

相加过程能不能用数学方法进行跳跃相加呢？我认真的思考这个问题，没想出来......

但是跳跃相加！在这个各因子的出现次数都是顺序递减的这个序列里，不就可以用二分查找了！

从左边开始对不同的次数的区间边界进行二分查找，使得查找得到的区间，区间内的所有数的出现的次数都是一样的。然后对区间里的数字运用求和公式即可。

在查找前，不需要先把每个数字的出现次数预处理出来。可以边查边算。

敲了一下代码发现即使是 20000000，出现的不同的次数，是8942个。

而即使是 log（20000000）也就是16.12

也就是说，按照题目的最坏的情况，也只需要二分查找8942次，每次折半查找16次，不会超时。

下面上代码。

#include<iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
    int l,r,i,j,n,m,value,index;
    ll ans;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(!n)break;
        ans=0;                       //ans计入答案

        l=1;                         //二分查找初始化
        r=n;
        
        index=1;                     //计入每一次二分查找的起点
        value=n/index;               //value为二分查找的目标左区间（最左侧数字的次数）
        while(1)
        {
            if(index>n)break;        //左区间超出范围则停止
            
            while(l<=r)              //二分查找 最后的r是右区间的位置
            {m=(l+r)>>1;
            if(n/m<value)r=m-1;
            else l=m+1;
            }
            
            ans+=(ll)(index+r)*(r-index+1)*(n/index)/2;       //ans加上区间的各数*出现次数   求和公式一下   注意“强制转换”不可省略！！
            
            index=r+1;                      //一趟结束，为下一次的二分做 “向右迈进”
            value=n/index;
            l=index;
            r=n;
        }
        printf("%lld\n",ans-1);             //要减去一个1，上文声明过
    }
    return 0;
}

完毕~~（结果和唯一分解定理没有半分关系~）