信号与系统学习笔记 第三章

第三章 周期信号的傅里叶级数表示

下面将讨论信号与线性时不变系统的另一种表示，讨论的出发点仍是将信号表示成一组基本信号的线性组合。这是因为，将信号表示成基本信号的线性组合是有利的，如果基本信号具有一下两个性质：

1.由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；

2.线性时不变系统对每一个基本信号的相应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的相应有一个很方便的表示式。

一个线性时不变系统对复指数信号的响应同样是一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化，即：$$连续时间：e^{st}\to H(s)e^{st}$$$$离散时间：z^n\to H(z)z^n$$

其中$H(s)$或$H(z)$是一个复振幅因子，一个信号，如果系统对该信号的输出响应仅是一个常数乘以输入，则称该信号为系统的特征函数(eigenfunction)，而幅度因子称为系统的特征值(eigenvalue)。

证明：复指数是线性时不变系统的特征函数

考虑单位冲激响应为$h(t)$的连续时间线性时不变系统，对于任意输入$x(t)$，可由卷积积分确定输出，因此若$x(t)=e^{st}$，则有$$y(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{s(t-\tau )}d\tau$$将$e^{st}$从积分号内提出来，则$$y(t)=e^{st}{\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{-s\tau }d\tau$$若无穷积分收敛，令$H(s)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{-s\tau }d\tau$，它是一个复常数，其值决定于$s$，则系统对$e^{st}$的响应为$$y(t)=H(s)e^{st}$$
复指数序列是离散的情况同理可证。
于是我们可以得出，如果一个连续时间线性时不变系统的输入表示成复指数的线性组合，即$$x(t)=\sum _k{a}_k{e}^{s_{k}t}$$则输出一定是$$y(t)=\sum _k{a}_{k}H(s_k)e^{s_{k}t}$$

连续周期信号的傅里叶级数表示

如果一个信号是周期的，那么对所有的$t$，存在某个正值的$T$，有$$x(t)=x(t+T)$$$x(t)$的基波周期是满足上式的最小非零正值$T$，基波频率定义为${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$。

一个基本周期信号是周期复指数信号$x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$，与上式有关的成谐波关系(harmonically related)的复指数信号集是$${\varphi }_k(t)=e^{jk{\omega }_{0}t}=e^{jk(2\pi /T)t},k=0,\pm 1,\pm 2,...$$
在上式中，$k=0$项为常数，一般地，$k=+N$和$k=-N$的分量称为第$N$次谐波分量。

一个周期信号表示成$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$的形式称为傅里叶级数(Fourier series)表示。

若$x(t)$是一个实信号，而且其傅里叶级数表示存在，则因为$x(t)$的共轭$x^{\ast }(t)=x(t)$，有$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k^{\ast }{e}^{-jk{\omega }_{0}t}$$用$-k$代替$k$，则有$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_{-k}^{\ast }{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$这要求$$a_k^{\ast }=a_{-k}$$

将求和重新写成$$x(t)=a_0+\sum _{k=1}^{+\infty }\left[a_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}+a_{-k}{e}^{-jk{\omega }_{0}t}\right]$$
用$a_k^{\ast }$代替$a_{-k}$，上式变为$$x(t)=a_0+\sum _{k=1}^{+\infty }\left[a_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}+a_k^{\ast }{e}^{-jk{\omega }_{0}t}\right]$$
于是x(t)=a0+∑k=1+∞2Re{akejkω0t}x(t)=a_0+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}2\mathcal{Re}\{a_ke^{jk\omega_0t}\}x(t)=a0​+k=1∑+∞​2Re{ak​ejkω0​t}若$a_k$以极坐标的形式给出为$a_k=A_k{e}^{j{\theta }_k}$，则
x(t)=a0+∑k=1+∞2Re{Akej(kω0t+θk)}x(t)=a_0+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}2\mathcal{Re}\{A_ke^{j(k\omega_0t+\theta_k)}\}x(t)=a0​+k=1∑+∞​2Re{Ak​ej(kω0​t+θk​)}于是
$$x(t)=a_0+2\sum _{k=1}^{+\infty }{A}_{k}cos(k{\omega }_{0}t+{\theta }_k)$$

连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定

假定一个给定的周期信号能够表示成傅里叶级数形式$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$在上式两边同乘$e^{-jn{\omega }_{0}t}$，可得$$x(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}$$上式两边对$t$从$0$到$T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$积分，有$${\int }_0^{T}x(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt={\int }_0^T\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt$$调换求和积分次序得
$${\int }_0^{T}x(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k\left[{\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt\right]$$
对于等式右边的积分，由欧拉关系$${\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt={\int }_0^{T}cos(k-n){\omega }_{0}tdt+j{\int }_0^{T}sin(k-n){\omega }_{0}tdt$$由三角函数的正交性，积分值不为$0$当且仅当$n=k$，此时积分值为$T$。
于是$$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k\left[{\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt\right]=T{a}_n$$因此有$$a_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt$$
上述过程可归纳如下：如果$x(t)$有一个傅里叶级数表达式，即$x(t)$能表示成一组成谐波关系的复指数信号的线性组合，那么傅里叶级数中的系数就可以由上式确定。这一对关系式定义为一个周期连续时间信号的傅里叶级数：
$$\begin{gathered} x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t} \\ {a}_k=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt \end{gathered}$$
其中第一个公式称为综合(synthesis)公式，第二个则称为分析(analysis)公式。

系数$a_k$称为$x(t)$的傅里叶数级系数(Fourier series coefficients)或称为$x(t)$的频谱系数(spectral coefficients)。

傅里叶级数的收敛性

Dirichlet得到一组条件，这组条件除了在某些对$x(t)$不连续的孤立的$t$值以外，保证了$x(t)$等于它的傅里叶级数表示；而在那些$x(t)$不连续的点上，无穷级数收敛于不连续点两边值的平均值。下面给出Dirichlet条件。

条件1\quad在任何周期内，$x(t)$必须绝对可积，即$${\int }_T|x(t)|dt<\infty$$
条件2\quad在任意有限区间内，$x(t)$具有有限个起伏变化。也就是说，$x(t)$的最大值和最小值的数目有限。

条件3\quad在$x(t)$的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而在这些不连续点上，函数是有限值。

连续时间傅里叶级数的性质

线性性质

若$x(t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{⟷}{a}_k$，$y(t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{⟷}{b}_k$，周期均为$T$，则$$z(t)=Ax(t)+By(t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{⟷}{c}_k=A{a}_k+B{b}_k$$

时移性质

若$x(t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{⟷}{a}_k$，则$$x(t-t_0)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{⟷}{e}^{-jk{\omega }_0{t}_0}{a}_k$$

时间反转

若$x(t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{⟷}{a}_k$，则$$x(-t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{⟷}{a}_{-k}$$

时域尺度变换

若$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$，则$$x(\alpha t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk(\alpha {\omega }_0)t}$$
注意：傅里叶系数没有改变，但是由于基波频率的变化，傅里叶级数表示改变了。

相乘

若$x(t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{⟷}{a}_k$，$y(t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{⟷}{b}_k$，周期均为$T$，则
$$x(t)y(t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{⟷}{h}_k=\sum _{l=-\infty }^{+\infty }{a}_l{b}_{k-1}$$

共轭与共轭对称

若$x(t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{⟷}{a}_k$，则$$x^{\ast }(t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{⟷}{a}_{-k}^{\ast }$$
这个性质与傅里叶级数系数的共轭对称(conjugate symmetric)性一致。