最长不降子序列的NlogN的解法

这是一个很好的题目。题目的算法还是比较容易看出来的，就是求最长上升子序列的长度。不过这一题的数据规模最大可以达到40000，经典的O(n^2)的动态规划算法明显会超时。我们需要寻找更好的方法来解决是最长上升子序列问题。

先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法：
设A[i]表示序列中的第i个数，F[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。

现在，我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足

(1)x < y < I (2)A[x] < A[y] < A[i] (3)F[x] = F[y]

此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？

很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[i-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。

再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。

注意到D[]的两个特点：

(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
(2) D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。

利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D[len]。若A[i] > D[len]，则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[i]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[i]。令k = j + 1，则有D[j] < A[i] <= D[k]，将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新D[k] = A[i]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。

在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题，整个算法的难点在于二分查找的设计，需要非常小心注意。

补充：
1：下面程序的F数组在此题中没有用到，它是用来保存每个从1--i的最长不降子序列。
2：此程序虽然很快，但是它却丢掉了普通算法的一些优势，就是：我们如果要把最长的子序列找出来，那么就是十分的困难的啦，因为我们把原有的数据在work的时候给覆盖了，其它的方面还是十分的满意。

【参考程序】：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
int f[100001],a[100001],c[100001];
int n,size;
int bsearch(int ai)
{
int l=1,r=size,mid;
while (l<=r)
{//二分查找
mid=(l+r)>>1;
if (ai<c[mid-1] && ai>=c[mid]) return mid;
else if (ai<c[mid]) l=mid+1;
else r=mid-1;
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
if (!n)
{
printf("0/n");
exit(0);
}
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
f[1]=1;c[1]=a[1];size=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (a[i]==0) continue;
int j;
if (a[i]>=c[1]) j=1;
else if (a[i]<c[size]) j=++size;
else j=bsearch(a[i]);
f[i]=j;c[j]=a[i];
}
printf("%d/n",size);
system("pause");
return 0;
}