Toeplitz 矩阵改进MUSIC算法处理相干信号

一、背景问题

在多径环境中，阵列接收的信号可能是相干的（例如，信号 \(s_2(t) = \alpha s_1(t)\)），导致信号协方差矩阵 \(\mathbf{R}_s\) 低秩（\(\text{rank}(\mathbf{R}_s) < D\)，\(D\) 为信号源数）。这使得传统 MUSIC 算法无法正确分离信号和噪声子空间，谱峰丢失或模糊。

适用场景：均匀线阵（ULA），多径环境下的相干信号。

二、信号模型

信号模型在上一节详细介绍过，在此不多赘述。详见：MUSIC算法处理阵列信号的DOA估计-优快云博客

三、Toeplitz 算法

3.1核心思想

- 从样本协方差矩阵 \(\hat{\mathbf{R}}_x\) 提取自相关序列 \(\hat{r}(k)\)。
- 用 \(\hat{r}(k)\) 构造 Hermitian Toeplitz 矩阵 \(\mathbf{R}_{\text{Toe}}\)。

- 用 \(\mathbf{R}_{\text{Toe}}\)近似非相干信号的协方差矩阵，恢复秩为 D 。

3.2算法步骤

1. 计算样本协方差矩阵：

$$
\hat{\mathbf{R}}_x = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \mathbf{X}(i) \mathbf{X}^H(i)
$$

其中，\(N\) 为快拍数。

2. 提取自相关序列：

$$