Bellman-Ford算法笔记

河林山

已于 2022-04-03 17:53:47 修改

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分类专栏：最短和最小生成树算法文章标签：算法

于 2021-04-23 16:28:24 首次发布

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本文详细介绍了Bellman-Ford算法，用于解决带有负权边的图中寻找源点到其他顶点最短路径的问题。核心在于通过n-1次迭代更新最短路径，同时检测负权环。文章探讨了算法的优化策略，如提前结束循环的标记和SPFA队列优化，并提供了一个简单的例题供读者实践。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Bellman-Ford算法

解决的问题：

n个顶点，m条边，分别求出源点到其它各点的最短距离。
接下来就是m行边的数据
a b c
…
代表顶点a到顶点b距离为c

试用条件：

边权值可正可负。
可以是无向边或者有向边
图内不能有负权环（环内存在边值为负），因为求出的最短路不正确。
有正环暂时没发现求最短路有错误。
但该算法可检测是否存在负权环。

核心代码（4行）：

不断利用m条边更新最短路
for(k=1;k<=n-1;k++)
	for(i=1;i<=m;i++)
		if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])
			dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];

注解：

数组u，v，w分别存m条边的信息。
u[i]，v[i]，w[i]存的就是第 i 条边的信息。
dis[i]表示的是源点到i的最短距离。

为什么外层循环（n-1）次呢？

——因为任意两点的路径可以有多条，但不管是哪条路径，含边数最多为 n - 1 条，因此任意两点之间的最短路径最多包含 n - 1 边。

——假定：源点为1。

当 k = 1 时，表示从 1 号顶点 “ 最多经过一条边 ” 到达其余各顶点的最短路径长度。
当 k = 2 时，表示从1号顶点 “ 最多经过两条边 ” 到达其余各顶点的最短路径长度。
…
当 k = n - 1 时，表示从1号顶点 “ 最多经过 n - 1 条边 ”到达其余各顶点的最短路径长度。

——现在要对这两句话稍微变更一下。

无时无刻都在想着更新dis的值。

当 k = 1 时，数组dis存的是1号顶点一步之内可到达的最短路径。
当 k = 2 时，数组dis存的是1号顶点两步之内可到达的最短路径。因为在 k = 1 时，对dis数组有了更新，因此当k=2时就相当于在k=1时再走一步。
当k=3时…

注意：这里的一步并非只走一条边的意思，所以即使存在最短路是 n - 1 条边，往往也不用循环（n-1）次，算了，把自己搞迷了。

——有没有丝丝的熟悉感呢。
没错，就是广搜思想，层层向外扩展，是否已经知晓为啥最多进行 n - 1 轮了呢，因为总共n个顶点，任意两点之间的最短路径最多包含 n - 1 条边。

稍微优化一点点：
——添加一个标记，是否提前跳出。当发现一轮下来，所有dis都未更新，就可以结束循环了，因为已经实现全部源点到其它点最小了。

再优化之Bellman-Ford的队列优化（spfa）

写不下去了，上简单题：牛客例题1