[三分] [BZOJ5041] LWD 的降临

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UPD2：这道题题解已经半残，请结合这里的研究食用。
2017.9.15 水 UOJ 裙的时候 onepointo 童鞋说这道题没人水……于是看了看……
其实就是求一个椭圆与给定圆外切的切点坐标，这个椭圆不是标准椭圆（即主轴为 $x$ 轴）。
如果我们暴力列方程的话有如下几个方程：
切点在圆上；
切点在椭圆上；
该点处圆的切线与椭圆的切线相同。
按理说是可求的，可是切点未知，解方程很难……
问题出在并不知道切点（也不会求切线……），观察到精度要求很低，可以想到等分圆周，判断每个点为切点的情况。
怎么判断切点……不是切线不会求吗……
观察到如果该点为切点，形成的椭圆长轴长应该是最短的，类比一下两个圆的位置关系可以理解到这一点。
然后就有判断依据咯……等分圆周然后找一个 $a$ 最小的点就是答案……
那天晚上A了……可是出题人认为暴力太简单加强了数据……等分圆周就T了（其实是WA？）
于是改进这个等分圆周的策略……

出题人：这个距离函数长得跟正弦函数差不多

？？？蛤？

证明：感性理解

？？？蛤？
这样的话爬山就可以了……复杂度玄学
可是模拟退火不仅比爬山慢而且精度比爬山低得多……不知道为什么……
纪念写的第一份爬山，并写出了倒数的速度……（感谢Claris……（大雾））
UPD：退役之后想了想，还是感觉证明很麻烦。
下面说说成果吧……劳资推了两个晚自习了QAQ
先转化一下坐标系，让原点位于两焦点中点，两焦点连线位于 $x$ 轴上，这个可以通过坐标变换公式来完成，计算完成之后再移回去即可。
下面是坐标变换公式：
设平面直角坐标系 $Oxy,O^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }$，${\mathrm{O}}^{\prime }$ 点在 $Oxy$ 坐标系下坐标为 $(x_0,y_0)$，由 $x$ 轴转到 $x^{\prime }$ 轴转过角度为 $\theta$。$\mathrm{M}$ 点在 $Oxy$ 坐标系下坐标为 $(x,y)$，在 $O^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }$ 坐标系下坐标为 $(x^{\prime },y^{\prime })$，则满足关系：
$$\{\begin{array}{ll}{x}^{\prime }=x\cos \theta +y\sin \theta -x_0& \\ y^{\prime }=y\cos \theta -x\sin \theta -y_0& \end{array}$$
这样就可以得到一个标准椭圆了。
联立：
$$\{\begin{array}{ll}{b}^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2& \\ (x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2& \end{array}$$
于是得到了一个非常复杂的一元四次方程，注意不要将 $y^2$ 开根号，需要讨论正负，正确的方法是移项并将其平方。
然后根据盛金公式，令这个方程有四重根就好了。
没算，留坑不补了（真的太恶心了……）
换种方法？
椭圆上一点的切线可以这样作：令 $\mathrm{P}$ 为椭圆上一点，分别连接该点与左右焦点 ${\mathrm{F}}_1,{\mathrm{F}}_2$，则 $\angle {\mathrm{F}}_1\mathrm{P}{\mathrm{F}}_2$ 的角分线的垂线为 $\mathrm{P}$ 点处切线。
也就是说，圆心与 $\mathrm{P}$ 点连线所在直线平分 $\angle {\mathrm{F}}_1\mathrm{P}{\mathrm{F}}_2$。不过这个还得等分圆周……
没什么好做法了，不如上知乎问个问题QAQ。
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