压缩路径,动态规划 过河(River)题解

一道关于青蛙过河的题目,要求在给定跳跃距离范围内,最少踩到多少个石子才能到达桥的终点。通过路径压缩减少计算量,当两个石子间距离大于跳跃最大值的平方时,可以将距离压缩到这个最大值的平方。使用动态规划求解,先排序石子位置,再进行路径压缩和计算。

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练习题

在河上有一座独木桥,一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子,青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数,我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点:0,1,……,L(其中L是桥的长度)。坐标为0的点表示桥的起点,坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始,不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数(包括S,T)。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时,就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L,青蛙跳跃的距离范围S,T,桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河,最少需要踩到的石子数。
对于30%的数据,L <= 10000;
对于全部的数据,L <= 10^9。
格式

输入格式

输入的第一行有一个正整数L(1 <= L <= 10^9),表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S,T,M,分别表示青蛙一次跳跃的最小距离,最大距离,及桥上石子的个数,其中1 <= S <= T <= 10,1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置(数据保证桥的起点和终点处没有石子)。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出只包括一个整数,表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

这道题是用的路径压缩,毕竟路那么长,纪录是不行的。我们发现两个石头之间大量的路程是浪费了的,所以需要压缩他们来减小计算时间以及空间。桥很长,但是石子数很少,也就是说,中间可能存在很长的一段空白区域,而这段空白区域就是造成大量无效运算的元凶,需要我们将这部分空白区域进行压缩。

现在,我们假设每次走p或者p+1步,则有 px+(p+1)y=s。
1.gcd(p+1,p)=gcd(1,p)=1,即p与p+1的最大公约数是1;
2.由扩展欧几里得可知,对于二元一次方程组:px+(p+1)y==gcd(p,p+1)是有整数解的,即可得:
px+(p+1)y==s是一定有整数解的。
假设px+(p+1)y==s的解为:x=x0+(p+1)t,y=y0-pt。令0<=x<=p(通过增减t个p+1来实现),s>p*(p+1)-1,则有:y=(s-px)/(p+1)>=(s-p*p)/(P+1)>(p*(p+1)-1-px)/(p+1)>-1>=0
即表示,当s>=p*(p+1)时,px+(p+1)y==s有两个非负整数解,每次走p步或者p+1步,p*(p+1)之后的地方均能够到达。如果两个石子之间的距离大于p*(p+1),那么就可以直接将他们之间的距离更改为p*(p+1)。
综上,得到压缩路径的方法:若两个石子之间的距离>t

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