UDIS++——薄板样条插值TPS——公式推导

是一种插值方法，薄板样条是一维三次样条的二维模拟。

薄板样条插值（Thin Plate Spline, TPS）是一种基于物理启发的非刚性插值方法，广泛应用于图像配准、几何变形和曲面拟合等领域。其核心思想是通过最小化弯曲能量（Bending Energy）来实现平滑插值。以下是其公式的详细推导过程：

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1. 问题定义与目标函数

假设给定 N 个控制点 目标是找到一个光滑的映射函数 f(x,y)，满足：

同时最小化弯曲能量，即：

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2. 弯曲能量的物理意义

弯曲能量 是薄金属板在外力作用下变形的物理模型的数学抽象：

• 一阶导数描述平移，二阶导数描述曲率。

• 最小化弯曲能量等价于寻找“最平滑”的变形表面。

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3. 薄板样条的解形式

TPS 的解由 仿射变换（全局线性部分） 和 径向基函数（局部非线性修正） 组成：

该函数是弯曲能量泛函的 Green 函数。

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 4. 约束条件

为保证插值和平滑性，需满足以下条件：

1. 插值条件：

2. 仿射部分的约束（避免退化）：

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5. 求解线性方程组

将解代入目标函数和约束条件，可构建线性方程组：

(1) 插值方程

对每个控制点 Pi​：

其中

(2) 仿射约束方程

 

(3) 矩阵形式

将所有方程联立，可表示为分块矩阵形式：

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6. 求解步骤

1. 构建核矩阵 K 和矩阵 P.

2. 解线性方程组 得到系数 w 和 a

3. 插值函数 f(x,y)可用于任意点的坐标变换。

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7. 弯曲能量的计算

通过系数 w 可计算弯曲能量：

最小化该能量保证了插值的光滑性。

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8. 直观解释

• 径向基项 ∑wiϕ(ri)：局部修正，捕捉控制点周围的非线性变形。

• 仿射项 a0+a1x+a2y：全局刚性变换，保持整体结构。

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9. 应用示例（图像变形）

1. 将控制点从源图像映射到目标图像。

2. 对每个像素坐标 (x,y)(x,y)，通过 TPS 计算变形后的坐标 (x′,y′)(x′,y′).

3. 重采样像素值生成变形后的图像。