[luogu]P1373 小a和uim之大逃离-优快云博客

本文介绍了一个关于矩阵中路径计数的问题。从任意起点到任意终点，仅能向下或向右移动，且移动步数必须为偶数。文章通过动态规划的方法解决此问题，并给出了一段C++代码实现。

题目

给定 $n\times m$ 矩阵,矩阵每个元素有一个 $p\in[0,k]$ 的值,可以从任意点出发并在任意点停止,但只能向下或向右走。走必须为偶数步,每一步会得到一个权值 $p_{ij}$ ,求方案数,满足 $\sum_{2|i}p_{i}\equiv \sum_{2\nmid i}p_{i} (mod\ k+1)$ , $p_{i}$ 为每一步的权值。

数据范围: $1 \leq n,m \leq 800,\ 1\leq k \leq 15$

dp策略

先令 $dp[i][j][]$ 为终点在 $(i,j)$ 的符合条件的方案数( $[]$ 中为其他刻画状态条件),可以看出,其主要依赖于 $(i-1,j),(i,j-1)$ 两项(考虑奇偶步),或依赖于 $(i-2,j),(i-1,j-1),(i,j-2)$ 三项(不考虑奇偶步).

由于求和涉及 $mod$ ,故先考虑 $dp[i][j][]=>dp[i][j][k][k^{'}]$ ,表示终点在 $(i,j)$ , $\sum_{2|i}p_{i}\equiv k (mod\ k+1),\ \sum_{2\nmid i}p_{i}\equiv k^{'}(mod\ k+1)$ 的方案数(不考虑奇偶步), $ans=\sum_{1\leq i \leq n,1 \leq j \leq m,0 \leq l \leq k} dp[i][j][l][l]$ .

$dp[i][j][k][k^{'}]$ 依赖于 $(i-2,j),(i-1,j-1),(i,j-2)$ 三项,但这样做时间空间都会炸掉~~ε=ε=ε=ε=ε=ε=┌(;￣◇￣)┘~~

考虑 $\sum_{2|i}p_{i}\equiv \sum_{2\nmid i}p_{i} (mod\ k+1)$ ,进行变形 $\sum p_{i} * (-1)^{i+1} \equiv 0 (mod\ k+1)$ , $dp[i][j][]=>dp[i][j][\Delta k][parity]$ , $\Delta k$ 刻画差值, $parity$ 刻画步数(奇数为0,偶数为1),. $ans = \sum_{1\leq i \leq n, 1 \leq j \leq m, 0 \leq \delta k \leq k}dp[i][j][\delta k][1]$ .

$dp[i][j][\Delta k][parity]$ 依赖于 $(i-1,j),(i,j-1)$ 两项,空间与时间都是 $O(n*m*k)$

初始化: $dp[i][j][p_{ij} \% (k+1)][0]=1 (1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m)$ ,其余为0

转移方程: $\\ dp[i][j][(l+p_{ij})\%(k+1)][0]\ +=dp[i-1][j][l][1]+dp[i][j-1][l][1]\\ dp[i][j][(l-p_{ij})\%(k+1)][1]\ +=dp[i-1][j][l][0]+dp[i][j-1][l][0]\\ (1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m, 0 \leq l \leq k)$

ps: $dp$ 数组开 $int$ ,不然莫名MLE

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

using LL = long long;
const int MOD = 1e9 + 7;
int N, M, K;
int p[805][805];
int dp[805][805][18][2];
LL ans;

int main(){
  ios::sync_with_stdio(false);
  int i, j, l;
  cin >> N >> M >> K, K++;
  for(i = 1; i <= N; i++)
    for(j = 1; j <= M; j++)
      cin >> p[i][j];

  for(i = 1; i <= N; i++)
    for(j = 1; j <= M; j++)
      dp[i][j][p[i][j] % K][0]++;
  for(i = 1; i <= N; i++)
    for(j = 1; j <= M; j++){
      for(l = 0; l < K; l++){
        dp[i][j][(l + p[i][j]) % K][0] += dp[i - 1][j][l][1] + dp[i][j - 1][l][1];
        dp[i][j][(l + p[i][j]) % K][0] %= MOD;
        dp[i][j][(l - p[i][j] + K) % K][1] += dp[i - 1][j][l][0] + dp[i][j - 1][l][0];
        dp[i][j][(l - p[i][j] + K) % K][1] %= MOD;
      }
      ans = (ans + dp[i][j][0][1]) % MOD;
    }
  cout << ans << endl;
  return 0;
}