Copula函数

最新推荐文章于 2025-10-14 14:49:30 发布

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本文深入解析Copula函数的定义、性质、类型及参数估计方法，探讨其在金融、信号处理等领域的广泛应用，为理解随机变量间相关性提供有力工具。

“Copula”一词源于拉丁语，意为“联结、联系”。最初由Sklar在1959年提出，被广泛应用于统计、金融、风险管理等领域。Copula是处理统计中随机变量相关性问题的一种方法。

Copula函数的定义

定义1 $^{[1]}$

在一般情形下， $n$ 元 Copula函数 $C:[0,1]n→[0,1]C:[0,1]^n\rightarrow[0,1]$ 是多元联合分布
$C(u1,u2,...,un)=P(U1≤u1,U2≤u2,...,Un≤un)C(u_1,u_2,...,u_n)=P(U_1\leq u_1,U_2\leq u_2,...,U_n\leq u_n)$

其中 $U_1,U_2,...,U_n$ 是标准均匀变量。

定义2 $^{[3]}$

Copula 有连接和交换的意思，因此Copula函数又被称作连接函数，Nelsen $^{[4]}$ 在1998年给出了Copula函数的定义，指出具有下面性质的函数C是N维Copula函数。

$C=I^N=[0,1]^N$ ， $C$ 函数的定义域在一个 $[0, 1]$ 的 $N$ 维空间上；
函数 $C$ 在它的每个维度上都是单调递增的函数；
假设任意的 $m∈(0,1)m\in(0,1)$ ， $C$ 的边缘分布 $Cn(⋅)C_n(\cdot)$ 满足 $C_n(1,...,m_n,...,1)=m$ ， $n∈[1,N]n\in[1,N]$ 。

精确表达式 $^{[1]}$

Sklar定理

设 $H$ 是 $n$ 维随机变量 $X_1,...,X_n)$ 的联合分布函数，与其对应的边际分布分别是 $F_1,...,F_n$ ，则存在一个 $n$ 元Copula函数 $C$ 使得对于全部 $(x1,x2,...,xn)∈[−∞,+∞]n(x_1,x_2,...,x_n)\in[-\infty,+\infty]^n$ ，有 $H(x1,x2,...,xn)=C(F1(x1),F2(x2),...,Fn(xn))(1)H(x_1,x_2,...,x_n)=C(F_1(x_1),F_2(x_2),...,F_n(x_n))\quad\quad(1)$

若 $F_1,...,F_n$ 是连续的，则 $C$ 唯一；否则 $C$ 仅在 $Ran(F1)×...×Ran(Fn)Ran(F_1)\times...\times Ran(F_n)$ 上唯一。

反之

若 $C$ 是一个Copula函数， $F_1,...,F_n$ 是单变量分布函数，则(1)式定义的 $H(x_1,x_2,...,x_n)$ 是边缘分布为 $F_1,...,F_n$ 的随机向量的联合分布函数。

【说明】定理给出了一种利用边际分布对多元联合分布建模的方法：（1）构建各变量的边际分布；（2）找到一个恰当的Copula函数，确定它的参数，作为刻画各个变量之间相关关系的工具。

推论

设随机变量 $X_1,X_2,...,X_n$ 的分布函数 $F_1(x_1),F_2(x_2),...,F_n(x_n)$ 均是连续的， $U_1=F_1(X_1),...,U_n=F_n(X_n)$ 均服从 $[0, 1]$ 上的均匀分布，则随机变量 $U_1,...,U_n$ 的联合分布为
$C(u1,u2,...,un)=H(F1−1(u1),F2−2(u2),...,Fn−1(un))=P(U1≤u1,U2≤u2,...,Un≤un)(2)\begin{aligned} C(u_1,u_2,...,u_n)&=H(F_1^{-1}(u_1),F_2^{-2}(u_2),...,F_n^{-1}(u_n))\\ &=P(U_1\leq u_1,U_2\leq u_2,...,U_n\leq u_n) \end{aligned}\quad\quad(2)$