如何写出三体的MATLAB程序-理论分析篇

如何写出三体的MATLAB程序-理论分析篇

写在前面

之所以写这个程序，是因为某天晚上无聊，室友正在学习MATLAB，于是提议写一个三体运动的物理模拟程序来练练手。就此，我也写一份该程序来为室友做一个参考标准，希望可以帮助室友进步的更快。

做出来的大概效果就如下图所示

本系列所有代码均在我的Github中存有备份，可下载后直接运行，点击Github: HanpuLiang/Three-Body-by-MATLAB即可进入。

三体简介

三体一般指的就是三个物体受到相互之间的引力作用的影响而运动。一般来说，因为其运动方程太过于复杂，所以并没有解析解，并且因为对初值的敏感性，略微变化一点初始条件就会对未来长远的结果产生巨大的影响。

在没有解析解的情况下，只能通过数值解的方法对微分方程组求解。所以数值解的误差也受计算步长的影响，计算步长越小越精确，但是因为数据一定会有精度，并不能真正的无穷小，所以实际上在时间足够长以后依旧会产生很大的误差。

综合很多原因，才会有了大刘《三体》的剧情，不然凭借三体人那么厉害的科技水平还怎么还是选择来搞地球。

不过说到底，解不开这样的问题还是目前人类的数学水平不行，或许以后就有办法了呢？

但是我们这里并不用分析力学的方法求解，因为手头没有演草纸，推方程有点麻烦，所以直接用经典力学的方法去模拟整个运动，这样子相信有点物理基础的大家也是可以看懂的。

运动过程分析

我们首先需要思考：

• 三个小球到底是怎么运动的？引力作用。
• 小球运动，哪些量在变化？位置改变导致引力大小改变，引力导致加速度改变，加速度导致速度改变，速度导致位置改变。

也就是说，我们只需要集中在三个物理量上面就好：坐标，速度(大小与方向)，加速度(大小与方向)。这就是我们所需要，随着时间变化的，计算的所有数据。

接下来就要开始引进物理公式了。

两个物体之间的加速度

首先，两个物体之间的万有引力可以通过公式

$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

来计算，其中$m_1$是物体1的质量，$m_2$是物体2的质量，$G$是引力系数(模拟中为方便可以设为1)，$r$为物体1与物体2之间的直线距离。

根据力与加速度的公式$F=ma$就可以得到，在$t$时刻，物体之间相对距离为$r(t-1)$时(用上一次时间的距离算)，加速度为

$$\text{物体1的加速度: }{a}_1(t)=G\frac{m_2}{r(t-1{)}^2}$$

$$\text{物体2的加速度: }{a}_2(t)=G\frac{m_1}{r(t-1{)}^2}$$

两个物体之间的速度

在单位时间$\Delta t$内，两个小球之间的速度变化量$\Delta v$为$\Delta v=a\Delta t$，所以可以得到$t$时刻的速度为

$$\text{物体1的速度: }{v}_1(t)=v_1(t-1)+a_1(t)\Delta t$$

$$\text{物体2的速度: }{v}_2(t)=v_2(t-1)+a_2(t)\Delta t$$

两个小球的位置

令两个小球的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，则相对距离为

$$r=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$$

同理，在$t$时刻，受到速度由$v(t-1)$变化到$v(t)$的影响，可以简单的得到此时刻的距离为

$$r(t)=r(t-1)+\Delta r$$

其中

$$\Delta r=\frac{1}{2}(v(t-1)+v(t))\Delta t.$$

矢量的正交分解

众所周知，位置、速度、加速度均为矢量，即存在方向和大小这两种属性，也就是说我们需要考虑矢量方向不一致时的情况。

将矢量正交分解为$x$轴与$y$轴是最简单方便的做法。

首先是坐标，这个已经是分解到了$x$轴与$y$轴这个坐标系上了，毕竟我们写出来的就是两个点的坐标，如果谁还不会用坐标点绘图就可以点右上角退出界面了。

其次是速度与加速度。我们以物体自身为原点建立坐标系，速度大小为$v$，方向相对$x$轴正方向为$\theta$度，可以得到一个矢量如图所示。根据高中知识，就可以得到其在$x$轴与$y$轴上的分解为

$$v_x(t)=v(t)\cos \theta$$

$$v_y(t)=v(t)\sin \theta ,$$

同样的，加速度也可以这样子分解，得到

$$a_x(t)=a(t)\cos \theta$$

$$a_y(t)=a(t)\sin \theta .$$

而且，$x$轴上的加速度只会影响$x$轴上的速度，所以我们分解后，在计算时，只需要分别计算$xy$轴的坐标变化即可，不需要再考虑方向，即

$$v_x(t)=v_x(t-1)+a_x(t)\Delta t.$$

这样子，我们就将方向成功分解为$xy$轴分解进行计算，大大化简了繁琐的方向变化问题。

矢量的叠加

但是这只是两个物体之间的相互作用，如果是三个物体的话，其中一个物体就要受到两个力的作用。

实际上两个力是没有受到干扰的，所以当其分解到$xy$轴后，直接将其对应轴上的加速度直接相加即可得到总的加速度，也就是

$$a_{1x}(t)=a_{12x}(t)+a_{13x}(t),$$

其中$a_{1x}$就是物体1在$x$轴上的总的加速度，它由两个分加速度组成:来自物体2对物体1的力的、在$x$轴的加速度$a_{12x}$和来自物体3对物体1的$x_{13x}$。

其他同理，这样子就可以完美解决所有问题了。

代码思路

根据上面的公式分析，加速度、速度、距离之间如何变化已经很清楚了，三个物体之间的各个物理量的正交分解也很明确了，已经可以转化为了代码可以实现的情况，下面我们就需要将公式化成代码。

不过因为这一篇博客已经比较长了，所以将本篇作为理论分析篇，下一篇博客中我们再进行详细解释代码。

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