洛谷P2404自然数的拆分问题 P1157组合的输出

P2404 问题描述

自然数的拆分问题
任何一个大于1的自然数n，总可以拆分成若干个小于n的自然数之和。现在给你一个自然数n，要求你求出n的拆分成一些数字的和。每个拆分后的序列中的数字从小到大排序。然后你需要输出这些序列，其中字典序小的序列需要优先输出。

输入输出样例

Sample Input

7

Sample Output

1+1+1+1+1+1+1
1+1+1+1+1+2
1+1+1+1+3
1+1+1+2+2
1+1+1+4
1+1+2+3
1+1+5
1+2+2+2
1+2+4
1+3+3
1+6
2+2+3
2+5
3+4

Wrong Answer

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
vector<int> track;

void dfs(int sum)
{
    if(sum==n){
        cout<<track[0];
        for(int i=1;i<track.size();i++)  cout<<"+"<<track[i];
        cout<<endl;  return ;
    }
    for(int i=1;i+sum<=n;i++){   //错误之处
        track.push_back(i);
        dfs(sum+i);
        track.pop_back();
    }
}

int main()
{
    cin>>n;
    dfs(0);
    return 0;
}

这个代码的错误之处就在于深搜时每个分支都从1开始，实际上这样写的话会造成排列重复，比如1+1+1+1+1+2 和1+1+1+1+2+1 都会输出。
措施：观察样例我们发现，后面输出的数总是大于等于前面输出的数，因此可以引入前缀，每次都从前缀的值开始循环。
同时，注意循环结束的条件。

改进

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
vector<int> track;

void dfs(int pre,int sum)
{
    if(sum==n){
        cout<<track[0];
        for(int i=1;i<track.size();i++)  cout<<"+"<<track[i];
        cout<<endl;  return ;
    }
    for(int i=pre;i+sum<=n&&i!=n;i++){
        track.push_back(i);
        dfs(i,sum+i);
        track.pop_back();
    }
}

int main()
{
    cin>>n;
    dfs(1,0);
    return 0;
}

P1157 问题描述

组合的输出
排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从n个元素中抽出r个元素, 请你输出所有组合。我们可以简单地将n个元素理解为自然数1,2,…,n，从中任取r个数。
所有的组合，每一个组合占一行且其中的元素按由小到大的顺序排列，每个元素占三个字符的位置，所有的组合也按字典顺序。

输入输出样例

Sample Input

5 3

Sample Output

1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 3 4
1 3 5
1 4 5
2 3 4
2 3 5
2 4 5
3 4 5

思路1

using namespace std;

int n,r;
vector<int> track;

void dfs(int dep)
{
    if(dep==n+1){
        if(track.size()==r){
        for(int i=0;i<r;i++)  printf("%3d",track[i]);
        cout<<endl;
       }
        return;
    }
    else{
        track.push_back(dep);
        dfs(dep+1);
        track.pop_back();
        dfs(dep+1);
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>r;
    dfs(1);
    return 0;
}

这是在求子集的基础上，只在筛选条件上选择子集个数为r的子集输出，需要耗费较高的时间。

思路2

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,r;
vector<int> track;

void dfs(int pre)
{
    if(track.size()==r){
       for(int i=0;i<r;i++)  printf("%3d",track[i]);
       cout<<endl;  return ;
    }
    for(int i=pre;i<=n;i++){
        track.push_back(i);
        dfs(i+1);
        track.pop_back();
    }
}

int main()
{
     cin>>n>>r;
     dfs(1);
     return 0;
}

P1157拓展

根据思路2，不仅可以写出组合的输出C(m,n)，还可以写出排列的输出A(m,n)
需要一个vis数组判断该数是否已加入track数组

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,r;
vector<int> track;
int vis[25];

void dfs(int dep)
{
    if(dep>r){
        for(int i=0;i<r;i++)  printf("%3d",track[i]);
        cout<<endl;  return ;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
     if(!vis[i]){
        track.push_back(i);
        vis[i]=1;
        dfs(dep+1);
        track.pop_back();
        vis[i]=0;
     }
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>r;
    dfs(1);

    return 0;
}