JZ9 跳台阶扩展问题-优快云博客

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一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶(n为正整数)总共有多少种跳法。

还是找一下题目有什么规律先，有两种办法观察。

1级台阶：①跳1级台阶一下

2级台阶：①跳1级台阶两下②跳2级台阶一下【因为可以跳上n级，所以上2级台阶的方法就是从1级上来或者从0级上来， $f(2)=f(2-1)+f(2-2)$ ，因为 $f(2-2)$ 是一次性从0级台阶跳上来的方法，所以等于1，我觉得跟 $f(0)$ 意义不同，因为0级台阶的话应该是0种方法，所以应该说成 $f(n-n)=1$ 】

3级台阶：①跳1级台阶三下②跳2级台阶一下1级台阶一下③跳1级台阶一下2级台阶一下④跳3级台阶【所以上3级台阶的方法就是从2级上来或者1级上来或者从0级上来， $f(3)=f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)$ 】

4级台阶：①跳1级台阶四下②跳2级台阶两下③跳3级台阶一下1级台阶一下④跳1级台阶一下3级台阶一下⑤跳4级台阶一下⑥跳2级台阶一下1级台阶两下⑦跳1级台阶一下2级台阶一下1级台阶一下⑧1级台阶两下2级台阶一下【 $f(4)=f(4-1)+f(4-2)+f(4-3)+f(4-4)$ 】

从括号前面的方法数量可以看出来，依次下来分别是1，2，4，8...即是 $2^0,2^1,2^2,2^3$ ...

但是因为还不知道之后的5级台阶是不是也是相应的 $2^4$ ，所以还是从另一方面推理。

从括号里的内容可以推断出，整个函数的表达式为： $f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+\cdots+f(n-(n-1))+f(n-n),n\geq 2$

那么继续简化： $f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+\cdots+f(3)+f(2)+f(1)+1$

$f(n)=f(n-1)+f(n-2)+\cdots+f(3)+f(2)+f(1)+1=f(n-1)+f(n-1)=2f(n-1), n\geq 2$

class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        if number < 0:
            return None
        if number == 0:
            return 0
        if number == 1:
            return 1
        if number > 1:
            c = 2 ** (number-1)
            return c