算法通关村第十九关——动态规划高频问题（白银）

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算法通关村第十九关——动态规划高频问题（白银）

前言

摘自：代码随想录

动态规划五部曲：

确定dp数组（dp table）及其下标的含义
确定递推公式
初始化dp数组
确定遍历顺序
举例推导dp数组

1 最少硬币数

leetcode 322. 零钱兑换

动规五部曲分析如下：

确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑足总额为 j 所需钱币的最少个数为dp[j]

确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，

那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢？

考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

int[] dp = new int[amount + 1];
// 往数组dp里面填充某个数，这里选择amount+1，就是最大的值
Arrays.fill(dp, amount+1);
dp[0] = 0;

确定遍历顺序

有两种方式：

第一种：外循环遍历金额，内循环遍历硬币面额。

第二种：外循环遍历硬币面面额，内循环遍历金额。

这两种遍历顺序对应的意义如下：

外循环遍历金额，内循环遍历硬币面额：

这种遍历顺序的意义是在计算找零过程中，我们首先考虑金额的变化，然后再考虑不同的硬币面额。

也就是说，我们固定一个金额，尝试使用不同的硬币面额来找零。这样做的好处是可以利用之前已经计算出来的金额的最少硬币数，快速得到当前金额的最优解。由于金额是从小到大递增的，所以我们在计算每个金额的最优解时，可以利用前面较小金额的最优解已经被计算出来的特点。

// 遍历金额
for (int i = 1; i <= amount; i++) {
   
    // 遍历硬币面额
    for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
   
        if (coins[j] <= i) {
   
            dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
        }
    }
}

外循环遍历硬币面额，内循环遍历金额：

这种遍历顺序的意义是在计算找零过程中，我们首先考虑不同的硬币面额，然后再考虑不同的金额。

也就是说，我们固定一个硬币面额，尝试在不同的金额下进行找零。这样做的好处是可以保证我们将所有可能的硬币面额都考虑到，并且在计算每个金额的最优解时，可以利用之前已经计算出来的较小金额的最优解。由于硬币面额是从小到大递增的，所以我们在计算每个金额的最优解时，可以利用之前较小硬币面额的最优解已经被计算出来的特点。

// 遍历硬币面额
for (int coin : coins){
   
    // 遍历金额
    for (int i = 1; i <= amount; i++) {
   
        if(coin <= i){
   
            dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
        }
    }
}

全部代码如下：

第一种：

class Solution {
   
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
   
        // 初始化dp数组
        int[] dp = new int[amount + 1];
        Arrays.fill(dp, amount + 1);
        dp[0] = 0;

        // 遍历金额
        for (int i=1; i <= amount; i++) {
   
            // 遍历硬币面额
            for (int j=0; j < coins.length; j++){
   
                if(coins[j] <= i){
   
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
                }
            }
        }
            
            
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
}

第二种：

class Solution {
   
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
   
        // 初始化dp数组
        int[] dp = new int[amount + 1];
        Arrays.fill(dp, amount + 1);
        dp[0] = 0;

        // 遍历硬币面额
        for (int coin : coins){
   
            // 遍历金额
            for (int i = 1; i <= amount; i++) {
   
                if(coin <= i){
   
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
                }
            }
        }
            
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
}