LightOJ 1045 Digits of Factorial

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数学

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本文介绍了如何使用对数来解决ACM算法问题中的复杂计算，具体阐述了如何通过计算对数来快速找出特定条件下的数值范围，以优化算法性能并简化计算过程。

Problem：acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=26765

分析：在base进制下，pow ( base , x ) 表示最小的 x+1 位数，pow ( base , x ) -1 表示最大的 x 位数

所以base进制下 x 位数的范围是 [ pow ( base , x-1 ) , pow ( base , x ) )，前闭后开的区间

10进制为例，10^2 = 100是最小的3位数，10^3 = 1000是最小的4位数，10^3 -1 = 999是最大的3位数

所以题目是要求出这个 x，使得 pow ( base , x-1 ) <= n! < pow ( base , x )，即第一个使得 pow ( base , x ) > n! 的x

但是n 最大是1e6，不能真的求 n!，所以取对数，于是变成：x * log ( base ) > log ( n! ) = log(1) + log(2) + … +log(n)

log (base) 除过去得出 x，要向上取整

要注意 n=0 的情况，答案是1

预处理一个装 log( i ) 前缀和的数组，不然会超时

Source code

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define SIZE 1000000
double sum[SIZE+1];
int main()
{
    int iTom,kase;
    for(sum[0]=0,kase=1;kase<=SIZE;kase++)
        sum[kase]=sum[kase-1]+log(kase);
    scanf("%d",&iTom);
    for(kase=1;kase<=iTom;kase++)
    {
        int n,base,out;
        double ans;
        scanf("%d%d",&n,&base);
        if(n<2)
        {
            printf("Case %d: 1\n",kase);
            continue;
        }
        out=ans=sum[n]/log(base);
        ans-=out;
        if(ans>0) out++;
        printf("Case %d: %d\n",kase,out);
    }
    return 0;
}