多元函数可导为什么不一定连续

原创 已于 2022-05-05 22:28:49 修改 · 5.1k 阅读 · 5 ·
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#高等数学 #多元函数

于 2022-05-05 22:28:04 首次发布
本文探讨了多元函数可导的条件，指出可导仅确保沿特定方向的连续性，而不保证函数在任意方向上的连续。偏导数的存在意味着函数在某一点沿着x和y轴的变化率是确定的，但函数可能在其他方向上不连续。这揭示了可导性和连续性在多元函数中的不同概念和要求。

多元函数可导是指x,yx,yx,y两个方向的偏导数∂z∂x\partial z \over \partial x∂x∂z​ 、∂z∂y\partial z \over \partial y∂y∂z​ 存在。
所以，多元函数可导只能说明动点(x,y0)(x,y_0)(x,y0​)（或(x0,y)(x_0,y)(x0​,y)）沿x（或y）轴方向趋于(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)。
而连续需要动点从任意方向趋于(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)。
故多元函数可导不一定连续。

高数 | 【多元函数微分学 概念篇】连续、可偏导及可微之间的关系
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多元函数偏导数连续、存在与可微的关系
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多元函数 可导、可微、连续、一阶偏导数连续 之间关系的总结
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[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-1NcLEK9g-1589038349553)(https://imgblog.csdnimg.cn/20200428191639413.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzEyNDU0Ng==,size_16,color_FFFFFF,
【高等数学】多元函数-连续可导可微（定义+证明+记忆方法）
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有关多元函数的 “连续、可偏导及可微” 之间的关系
分享各种学习心得和遇到的问题
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这张图通过箭头的指向和带叉号的箭头，清晰地展示了多元函数中。
高等数学的函数连续，可导，可微和偏导数连续的关系（多元）
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可导一定连续，连续不一定可导
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今天在群里面看到大家发了这句可导一定连续。连续不一定可导。。大家应该都非常熟悉。包含我自己，可是真正理解有多少呢，我当时就没想明确，中午吃饭的时候也在想，最后还是想明确了，特将数学推导放在这里： ...
为什么偏导数连续，函数就可微？
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函数偏导数存在和函数可微是什么关系
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<think>好的，我现在要回答用户的问题：“函数偏导数存在和函数可微是什么关系”。首先，我需要回忆一下多元微积分中的相关知识，特别是关于偏导数存在和函数可微的关系。 用户可能已经知道单变量函数中，可导和可微是等价的，但在多变量情况下，情况更复杂。他们可能想知道，对于多变量函数，如果所有偏导数都存在，是否意味着函数可微？或者需要什么额外条件？ 首先，我应该回顾基本定义。函数在某点的偏导数存在，意味着当其他变量固定时，函数沿该坐标轴方向的导数存在。而函数在该点可微，则需要存在一个线性近似，使得函数在该点的增量可以表示为各偏导数与自变量变化的线性组合，加上一个比自变量变化高阶的无穷小量。 接下来，我需要明确两者之间的关系。偏导数存在并不一定保证可微，但可微一定意味着所有偏导数存在。关键点可能在于偏导数的连续性。如果偏导数在某个点附近存在且连续，那么函数在该点可微。这可能就是Clairaut定理或相关的条件。 然后，我需要举例说明。比如，举一个偏导数存在但不可微的例子，比如经典的例子：当(x,y)≠(0,0)时，f(x,y)= (x y)/(x² + y²)，在原点处补充定义为0。这个函数在原点处的偏导数存在（都是0），但函数在原点处不连续，因此不可微。另一个例子可能更简单，比如f(x,y)= |x| + |y|，在原点处偏导数存在吗？可能需要验证。 或者使用更标准的例子，如f(x,y)在原点处为0，其他点处为(x^3)/(x^2 + y^2)，这样的函数在原点处的偏导数可能存在，但不可微，因为线性近似可能不够好。 然后，我需要解释可微的定义，即存在线性映射（由偏导数组成的矩阵）使得余项趋于零。这可能涉及到全微分的概念。 另外，可能需要提到，即使所有偏导数都存在且函数在该点连续，也不一定可微。但若偏导数连续，则函数在该点可微。这就是常见的充分条件。 总结结构的话，可能需要分点： 1. 定义：偏导数存在和可微的定义。 2. 关系：可微蕴含偏导数存在，但反之不然。 3. 反例：偏导数存在但不可微的例子。 4. 充分条件：偏导数连续则函数可微。 5. 总结两者的关系。 需要注意正确性，例如，是否所有偏导数存在且连续才能保证可微，还是部分即可？应该是所有偏导数存在且在某个邻域内连续，则函数在该点可微。 同时，要确保例子正确。比如，常见的例子是函数在原点处，当沿坐标轴方向可导，但整体不可微，因为方向导数在其他方向不一致，或者余项不满足高阶无穷小。 可能还要提到，可微性要求更强的条件，即函数的增量可以被线性部分近似，而不仅仅是各个方向上的导数存在。偏导数的存在只是沿坐标轴方向，而可微需要所有方向的变化都能被线性部分捕捉，余项足够小。 因此，在回答中需要强调，偏导数的存在是函数可微的必要条件，但不是充分条件。可微需要更强的条件，比如偏导数连续，或者满足某个线性近似条件。 最后，可能需要用数学符号来表达这些定义，比如可微的定义是存在线性映射A，使得f(x+h) - f(x) = A·h + o(||h||)，其中A由偏导数组成，即梯度向量。而当偏导数连续时，这个线性映射存在，并且余项满足要求。 现在，我需要将这些思考整理成结构清晰的中文回答，符合用户之前提到的格式，分步骤解释，使用适当的数学公式，并给出例子。同时，确保正确性和易懂性。</think>--- ### **函数偏导数存在与可微的关系** 在多元函数中，**偏导数存在**和**函数可微**是两个相关但不等价的概念。它们的联系与区别可通过以下步骤阐明： --- ### 1. **基本定义** 1. **偏导数存在**： 若函数 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 在某点 $P$ 处沿每个坐标轴方向的导数存在，则称 $f$ 在 $P$ 处**偏导数存在**。 例如，对二元函数 $f(x, y)$，在点 $(a, b)$ 处的偏导数为： $$ \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(a,b)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b) - f(a, b)}{h} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(a,b)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a, b+h) - f(a, b)}{h} $$ 2. **函数可微**： 函数 $f$ 在点 $P$ 处可微，指存在一个线性映射（全微分）$df$，使得 $f$ 在 $P$ 附近的增量可近似为： $$ f(P + \Delta \mathbf{x}) - f(P) = df(P) \cdot \Delta \mathbf{x} + o(\|\Delta \mathbf{x}\|) $$ 其中 $df(P)$ 由偏导数构成（即梯度 $\nabla f$），$o(\|\Delta \mathbf{x}\|)$ 表示高阶无穷小量。 --- ### 2. **核心关系** - **必要条件**： 若函数 $f$ 在点 $P$ 处可微，则 $f$ 在 $P$ 处的所有**偏导数一定存在**。 - 可微性蕴含偏导数存在性。 - **非充分条件**： 偏导数存在**不一定**能推出函数可微。 - 即使所有偏导数存在，函数仍可能不可微（需额外条件）。 --- ### 3. **反例：偏导数存在但不可微** #### **例1**：不连续的函数 定义二元函数： $$ f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases} $$ - **偏导数存在性**： 在 $(0, 0)$ 处，沿 $x$ 和 $y$ 方向的偏导数均为 $0$： $$ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = 0 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0 $$ - **不可微性**： 函数在 $(0,0)$ 处不连续（例如沿 $y = x$ 趋近时极限为 $\frac{1}{2}$），因此不可微。 #### **例2**：方向导数不一致 考虑函数： $$ f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^3}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases} $$ - **偏导数存在性**： 在 $(0,0)$ 处，$\frac{\partial f}{\partial x} = 1$，$\frac{\partial f}{\partial y} = 0$。 - **不可微性**： 若可微，应满足 $f(h, k) \approx 0 + 1 \cdot h + 0 \cdot k$，但实际增量： $$ f(h, k) - f(0,0) = \frac{h^3}{h^2 + k^2} $$ 当沿 $k = h$ 趋近时，$\frac{h^3}{2h^2} = \frac{h}{2}$，与 $\sqrt{h^2 + h^2} = h\sqrt{2}$ 相比，余项为 $O(h)$，非高阶无穷小，故不可微。 --- ### 4. **可微的充分条件** 若函数 $f$ 在某点的**所有偏导数存在且连续**，则 $f$ 在该点**一定可微**。 - **关键定理**： 偏导数连续 $\Rightarrow$ 函数可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在。 - **示例**： $f(x, y) = x^2 + y^2$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$ 处处连续，因此 $f$ 在全平面可微。 --- ### 5. **总结关系** 1. **偏导数存在**是**可微**的必要条件，但不是充分条件。 2. **可微性**要求函数在任意方向的变化均可被线性部分描述，而偏导数仅保证沿坐标轴方向的变化率存在。 3. **偏导数连续**是保证可微的常用充分条件（非必要条件）。 --- ### **图示关系** ``` 偏导数存在且连续 ⟹ 可微 ⟹ 偏导数存在 （充分条件） （必要条件） ```
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