深入浅出 01 背包问题：原理与代码实现

最新推荐文章于 2025-12-16 16:07:35 发布

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#数据结构

01 背包是动态规划的经典入门题，“01” 的含义很简单 ——每个物品要么选（1），要么不选（0），没有中间的多次选择情况。今天用最通俗的方式，带你搞懂它的解题思路和代码实现。

一、问题描述

给定 n 个物品，每个物品对应两个属性：重量 w[i] 和 价值 v[i]；还有一个容量为 C 的背包。目标：选若干物品装入背包，要求总重量不超过容量 C，且总价值最大。

举个例子：

物品数量 n=3
重量 w = [2, 3, 4]，价值 v = [3, 4, 5]
背包容量 C=5最优选择是拿前两个物品，总重量 2+3=5，总价值 3+4=7。

二、动态规划核心思路

动态规划的关键是 状态定义 和 状态转移方程，01 背包的核心逻辑就藏在这里面。

1. 状态定义

定义二维数组 dp[i][j]：前 i 个物品里选，装进容量为 j 的背包，能得到的最大价值。

2. 状态转移方程

对第 i 个物品，只有两种选择：选或不选。我们要选价值更大的那个方案。

不选第 i 个物品：此时最大价值等于 dp[i-1][j]（前 i-1 个物品在容量 j 下的最优解）。
选第 i 个物品：前提是背包容量够装它（j >= w[i]），此时价值等于 dp[i-1][j - w[i]] + v[i]（前 i-1 个物品在剩余容量下的最优解，加上当前物品的价值）。

综上，状态转移方程为：

plaintext

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i])  （j >= w[i]时）
dp[i][j] = dp[i-1][j]  （j < w[i]时，只能不选）

3. 初始化

当 i=0（没有物品可选）：不管背包容量多大，dp[0][j] = 0。
当 j=0（背包容量为 0）：不管有多少物品，dp[i][0] = 0。

三、代码实现（二维数组版）

以 Java 为例，逻辑清晰易懂：

java

运行

public class ZeroOneKnapsack {
    public static int maxValue(int[] w, int[] v, int C) {
        int n = w.length;
        // 二维dp数组，n+1行（前0~n个物品），C+1列（容量0~C）
        int[][] dp = new int[n + 1][C + 1];
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= C; j++) {
                // 注意：数组下标从0开始，i对应第i-1个物品
                if (j >= w[i-1]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i-1]] + v[i-1]);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[n][C];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {2, 3, 4};
        int[] v = {3, 4, 5};
        int C = 5;
        System.out.println(maxValue(w, v, C)); // 输出7
    }
}

四、空间优化（一维数组版）

二维数组需要 O(n*C) 的空间，我们可以优化成 一维数组，空间复杂度降到 O(C)。

核心思路：用一维数组 dp[j] 表示容量 j 的背包能装的最大价值。注意遍历顺序：容量 j 必须从后往前遍历，避免同一个物品被重复选择。

优化后代码（Java）：

java

运行

public static int maxValueOpt(int[] w, int[] v, int C) {
    int n = w.length;
    int[] dp = new int[C + 1];
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 从后往前遍历，防止重复选同一物品
        for (int j = C; j >= w[i]; j--) {
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
        }
    }
    return dp[C];
}