回朔法之机器人的运动范围

回溯法可以看成蛮力法的升级版，它从解决问题每一步的所有可能选项里系统地选择出一个可行的解决方案。回溯法非常适合由多个步骤组成的问题，并且每个步骤都有多个选项。当我们在某一步选择了其中一个选项时，就进入下一步，然后又面临新的选项。我们就这样重复选择，直至到达最终的状态。

【注：蛮力法，也称为穷举法或枚举法，是一种简单直接地解决问题的方法，常常直接基于问题的描述，所以，蛮力法也是最容易应用的方法。但是，用蛮力法设计的算法时间特性往往也是最低的，典型的指数时间算法一般都是通过蛮力搜索而得到的。】

用回溯法解决的问题的所有选项可以形象地用树状结构表示。在某一步有 n 个可能的选项，那么该步骤可以看成是树状结构中的一个节点，每个选项看成树中节点连接线，经过这些连接线到达该节点的 n 个子节点。树的叶节点对应着终结状态。如果在叶节点的状态满足题目的约束条件，那么我们找到了一个可行的解决方案。

如果在叶节点的状态不满足约束条件，那么只好回溯到它的上一个节点再尝试其他的选项。如果上一个节点所有可能的选项都已经试过，并且不能到达满足约束条件的终结状态，则再次回溯到上一个节点。如果所有节点的所有选项都已经尝试过仍然不能到达满足约束条件的终结状态，则该问题无解。

回溯法经典例题：机器人的运动范围

题目：地上有一个m行n列的方格。一个机器人从坐标(0 , 0)的格子开始移动，它每一次可以向左、右、上、下移动一格，但不能进入行坐标和列坐标的数位之和大于k的格子。例如，当k为18时，机器人能够进入方格(35 , 37)，因为3+5+3+7=18。但它不能进入方格(35 , 38)，因为3+5+3+8=19。请问该机器人能够到达多少个格子？

解析：这个方格也可以看作一个 mxn 的矩阵。同样，在这个矩阵中，除边界上的格子之外，其他格子都有4个相邻的格子。机器人从坐标(0 , 0)开始移动。当它准备进入坐标为(i , j)的格子时，通过检查坐标的数位和来判断机器人是否能够进入。如果机器人能够进入坐标为(i , j)的格子，则再判断它能否进入4个相邻的格子(i , j-1)、(i-1 , j)、(i , j+1) 和(i+1 , j)。因此，我们可以用如下的代码来实现回溯算法.

int movingCount(int threshold, int rows, int cols)
{
    if(threshold < 0 || rows <= 0 || cols <= 0)
        return 0;

    bool *visited = new bool[rows * cols];
    for(int i = 0; i < rows * cols; ++i)
        visited[i] = false;

    int count = movingCountCore(threshold, rows, cols,
        0, 0, visited);

    delete[] visited;

    return count;
}

int movingCountCore(int threshold, int rows, int cols, int row, int col, bool* visited)
{
    int count = 0;
    if(check(threshold, rows, cols, row, col, visited))
    {
        visited[row * cols + col] = true;

        count = 1 + movingCountCore(threshold, rows, cols,
            row - 1, col, visited)
            + movingCountCore(threshold, rows, cols,
                row, col - 1, visited)
            + movingCountCore(threshold, rows, cols,
                row + 1, col, visited)
            + movingCountCore(threshold, rows, cols,
                row, col + 1, visited);
    }

    return count;
}

其中，check() 函数用来判断机器人能否进入坐标为(row , col)的方格；

bool check(int threshold, int rows, int cols, int row, int col, bool* visited)
{
    if(row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols
        && getDigitSum(row) + getDigitSum(col) <= threshold
        && !visited[row* cols + col])
        return true;

    return false;
}

getDigitSum() 函数用来得到一个数字之和。

int getDigitSum(int number)
{
    int sum = 0;
    while(number > 0)
    {
        sum += number % 10;
        number /= 10;
    }

    return sum;
}