离散

brightspark@04

墨衍会员 · AI 创作全网分发码龄8年

关注

原创最新推荐文章于 2026-05-23 09:53:53 发布 1.6k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

离散数学-图论-图的基本概念（11）一个**无向图**G是一个有序的二元组，其中（1）V是一个非空有穷集，称为顶点集，其元素称为顶点或结点。（2）E是无序积V&V的有穷多重子集，称为边集，其元素称为无向边，简称边。阅读详情

小猹的图论笔记

关联次数：是点和边之间的概念。有一个环，该点的关联次数就加2。

关联矩阵中的元素就是关联次数，纵向和必定是2，可以找到这条边关联的顶点。
横向和是该点的度，对应各个关联边
任何图中，奇点的个数一定是偶数（握手定理）
若无向图中恰有两个奇点，则这两个奇点必连通：每一个连通分支都是一个单独的图,而图的奇度顶点是偶数个,所以图G中的两个奇度顶点必在同一连通分支内,所以这两个奇度顶点必然连通
强连通图中的可达关系是等价关系
哈密顿通路一定是简单通路：简单通路是边不重，哈密顿通路是点不重，而点不重边必然不重
若有向图是欧拉图，则一定是强连通的
任何非平凡的无向树都是二部图
- 无向树先找一个根结点（根顶点）,然后与根节点距离为偶数的结点归为一个点集合,与根节点距离为奇数的结点归为另外一个点集合,那么这两个点集合就构成了图中所有顶点集合的划分,而且无向树中所有的边两端的顶点分别属于这两个集合,所以无向树是一个二部图.
树没有回路，所以不是欧拉图或者哈密顿图
无向简单图的 $Δ\Delta$ (G) $≦\leqq$ n-1
n阶完全图 K_n K₂很特殊，没有回路
K_3,3，K₅不是平面图，K_n(n $≦4\leqq4$ )和K_2,n(n $≧2\geqq2$ )都是平面图, K_n(n $≧5\geqq5$ )和K_s,t(s,t $≧3\geqq3$ )都不是平面图
**极大平面图：**设G为简单平面图，若在G的任意两个不相邻的顶点之间加一条边，所的图为非平面图，则G为极大平面图
- K₁,K₂,K₃,K₄,K_5-e都是极大平面图
- 极大平面图一定是连通的，并且n$\geqq$3时没有割点和桥
- 设n$\geqq$3的简单连通平面图，G为极大平面图当且仅当G的每个面的次数均为3
- 设n$\geqq$3的极大平面图G，m=3n-6 对于任意一个简单平面图，m（边数）的上界=3n-6
- 设G为简单平面图，则G的 $δ\delta$ $\leqq$5
极小非平面图：若在非平面图G中任意删一条边，所得图为平面图，则G为极小平面图
- K₅，K_3,3都是极小非平面图
K₄不是欧拉图
同构的图具有相同的度序列，而度序列相同的图未必同构
悬挂点不在任何的点割集中
连通度：点连通度
$\kappa(G) $≦\leqq$ \lambda(G) $≦\leqq$ \delta(G)$ 等号取到：K_n和N~n都满足严格小于：在两个K_n之间放一个顶点，并且

连接每一个K_n的两个顶点 书本page305

强连通图与哈密顿图的关系
- 强连通图：G中存在经过每个顶点至少一次的回路。
- 所以强连通图（边多容易）很难是哈密顿图（边少容易），强连通图的回路大都要经过一个点很多次，
  哈密顿图不允许
- 弱连通图：基图是连通图
- 单向连通图：存在经过每个顶点至少一次
有割点的图一定不是哈密顿图。
n阶完全图是哈密顿图，不一定是欧拉图（偶数个点），（顶点个数为偶数点时，哈密顿回路的条数是==(n-1)!/2==
- 给一个完全图确定方向，得到的有向图是欧拉图的方法：为了保证出度=入度，先画出来一条欧拉通路再标
- K_s,t不一定是欧拉图，当s,t都是偶数的时候才是欧拉图，当|V₁=V₂|时，是哈密顿图，当|V₂|=|V₁|+1时，是半哈密顿图
n(n$\geqq$2)阶零图为二部图
n(n$\geqq$2)阶竞赛图必定有哈密顿通路
二部图首先是无向图二部图 $↔\leftrightarrow$ 无奇圈
若两个不邻点u，v的度和>=n ，且G∪（u，v）是哈密顿图，那么G图一定也是哈密顿图（充要）
K₅ K_3,3 是所有非平面图的基准（最小单位）
无回路的连通图是树
K_s,t的边数 s*t
设T是连通无向图G的一颗生成树，则T的余树不含有G的任何边割集

哈密顿图专项

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-lqwCgXX8-1609175472247)(https://i.loli.net/2020/12/29/ofvLWD8h3PJmpBy.jpg)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-iUfrxMUb-1609175472253)(https://wkretype.bdimg.com/retype/zoom/77eef822ccbff121dd36834b?pn=7&o=jpg_6&md5sum=96fb370a1b34feaa51b0fdc4ccd54976&sign=50ef25d342&png=111337-129944&jpg=736728-852917)]

哈密顿有向图中有一条包含所有顶点的圈，因此哈密尔顿有向图一定是强连通的

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-5ZMCr8iv-1609175472257)(https://i.loli.net/2020/12/29/FnUifZrRQm79jqw.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ro5P9pLI-1609175472262)(https://i.loli.net/2020/12/29/ctuY6e7MFAQmvgn.png)]

小猹的数理逻辑笔记

一阶逻辑等值演算

量词辖域扩张收缩

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-XiQvprsG-1609175472265)(https://powerpoint.officeapps.live.com/pods/GetClipboardImage.ashx?Id=e82dccec-93c7-4580-bd71-f652d24bcd92&DC=PUS1&wdoverrides=GetClipboardImageEnabled:true)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-wBfIVjPg-1609175472268)(https://powerpoint.officeapps.live.com/pods/GetClipboardImage.ashx?Id=4e62fd0b-3e18-46e2-8ea0-901090790c96&DC=PUS1&wdoverrides=GetClipboardImageEnabled:true)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-TQdtIJZr-1609175472270)(https://powerpoint.officeapps.live.com/pods/GetClipboardImage.ashx?Id=923ec53e-c222-4c43-bcb6-a96db39a734a&DC=PUS1&wdoverrides=GetClipboardImageEnabled:true)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-W03gsyn4-1609175472274)(https://powerpoint.officeapps.live.com/pods/GetClipboardImage.ashx?Id=22f3982d-d60c-48ce-83f6-8589d5931ee7&DC=PUS1&wdoverrides=GetClipboardImageEnabled:true)]

前束范式

否定词的消去和内移
利用换名规则和代替规则使得每个量词所约束的变元彼此不同，并且使得不含有既是约束又是自由的个体变项
辖域扩张

推理理论要用到的等式

命题逻辑中等值式的代换实例。
量词消去等值式
量词否定等值式
量词辖域收缩与扩张等值式
量词分配等值式
其它等值式

其他等值式
1. $∀\forall$ x $∀\forall$ yQ(x,y) $⇔\Leftrightarrow$ $∀\forall$ y $∀\forall$ xQ(x,y)
2. $∃\exists$ x $∃\exists$ yQ(x,y) $⇔\Leftrightarrow$ $∃\exists$ y $∃\exists$ xQ(x,y)
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-CBpLlqGf-1609175472276)(https://i.loli.net/2020/12/28/R5LZQkqBoAg4IhT.png)]

四条重要的推理规则（只可以对前束范式使用

全称量词消去规则

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-P0gN6slt-1609175472278)(https://i.loli.net/2020/12/28/7Cw152DmP4yMAOb.png)]

全称量词引入规则

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-MyyBKTzo-1609175472280)(https://i.loli.net/2020/12/28/nbUCf8Xmr1plV3u.png)]

存在量词引入规则

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-PtwmpMXh-1609175472283)(https://i.loli.net/2020/12/28/GLMKvP67X3IBEpR.png)]

存在量词消去规则

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6h4Yi4Db-1609175472285)(https://i.loli.net/2020/12/28/US2T4LR9qVHcGQI.png)]

小猹的有趣习题

集合、关系

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-U9E36AZF-1609175472287)(https://i.loli.net/2020/12/28/qjQzlPyDdFw4kR1.png)] [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Zoje2O3t-1609175472289)(https://i.loli.net/2020/12/28/39rDVZHIhQYzibf.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ADSLhJan-1609175472292)(https://i.loli.net/2020/12/29/1Mo52FCmI68g7Uy.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-zMxflnO5-1609175472294)(https://i.loli.net/2020/12/28/VGF9zK4iynd1COo.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Z87RuuFe-1609175472297)(https://i.loli.net/2020/12/28/hNMnaHeSzE1qGr5.png)]

数理逻辑部分

相容或:它联结的两个命题可以同时为真

排斥或:只有当一个为真，另一个为假时，才为真

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-WlqCq2IS-1609175472299)(https://i.loli.net/2020/12/28/WUEZPlyrF67Ndf8.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-wJHamy6b-1609175472302)(https://i.loli.net/2020/12/28/fUuyOFkYCE6wN9d.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-yDBzok9N-1609175472305)(https://i.loli.net/2020/12/28/3AbyKmD9EXi7ZQL.png)]
任意对析取无分配律存在对合取无分配律
C项 $∀\forall$ xA(x) $→\to$ $∀\forall$ xB(x) 前件为假

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-93jVSe5g-1609175472307)(https://i.loli.net/2020/12/28/ORBTntCYFULHAe5.png)]