小猹学图论

小猹的图论笔记

• 关联次数：是点和边之间的概念。有一个环，该点的关联次数就加2。

  关联矩阵中的元素就是关联次数，纵向和必定是2，可以找到这条边关联的顶点。
  横向和是该点的度，对应各个关联边

• 无向简单图的$\Delta$(G)$\leqq$n-1

• n阶完全图 K_n K₂很特殊，没有回路

• K_3,3，K₅不是平面图，K_n(n$\leqq 4$)和K_2,n(n$\geqq 2$)都是平面图, K_n(n$\geqq 5$)和K_s,t(s,t$\geqq 3$)都不是平面图

• **极大平面图：**设G为简单平面图，若在G的任意两个不相邻的顶点之间加一条边，所的图为非平面图，则G为极大平面图

  • K₁,K₂,K₃,K₄,K_5-e都是极大平面图
  • 极大平面图一定是连通的，并且n$\geqq$ 3时没有割点和桥
  • 设n $\geqq$ 3的简单连通平面图，G为极大平面图当且仅当G的每个面的次数均为3
  • 设n$\geqq$ 3的极大平面图G，m=3n-6 对于任意一个简单平面图，m（边数）的上界=3n-6
  • 设G为简单平面图，则G的$\delta$ $\leqq$ 5

• 极小非平面图：若在非平面图G中任意删一条边，所得图为平面图，则G为极小平面图

  • K₅，K_3,3都是极小非平面图

• K₄不是欧拉图

• 同构的图具有相同的度序列，而 度序列相同的图未必同构

• 

• 悬挂点不在任何的点割集中

• 连通度：点连通度

• $\kappa (G)$ $\leqq$$\lambda (G)$$\leqq$$\delta (G)$ 等号取到：K_n和N~n都满足 严格小于：在两个K_n之间放一个顶点，并且

连接每一个K_n的两个顶点 书本page305

• 强连通图与哈密顿图的关系

  • 强连通图：G中存在经过每个顶点至少一次的回路。
  • 所以强连通图（边多容易）很难是哈密顿图（边少容易），强连通图的回路大都要经过一个点很多次，
    哈密顿图不允许
  • 弱连通图：基图是连通图
  • 单向连通图：存在经过每个顶点至少一次

• 有割点的图一定不是哈密顿图。

• 

• n(n$\geqq$ 2)阶零图为二部图

• n(n $\geqq$ 2)阶竞赛图必定有哈密顿通路

• 二部图首先是无向图 二部图$\leftrightarrow$ 无奇圈

• 若两个不邻点u，v的度和>=n ，且G∪（u，v）是哈密顿图，那么G图一定也是哈密顿图（充要）