离散数学图论基础知识总结

最新推荐文章于 2025-11-05 00:43:08 发布

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#图论基础知识总结

本文介绍了图论的基本概念，包括无向图、有向图、多重图、简单图等，并详细解释了通路、回路、连通性和图的矩阵表示等内容。

无序对:
两个元素构成的集合 $\{a, b\}$ 称为无序对，
若 $A, B$ 为两个集合，则 $\{\{a, b\} | a\in A \land b \in B\}$ 为 $A$ 与 $B$ 构成的无序积

与笛卡尔积的区别在于构成笛卡尔积是由有序对构成
无序积 中的无序对的两个元素不分次序同时又可以是相同的

多重集合
集合中的元素可以重复出现，和Multimap 或 Multiset 中类似

重复度为元素在多重集合中出现的次数

无向图

一个无向图G是一个二元组 , 即 $G = <V, E>$
$V$ 是顶点集，是一个非空的有穷集合（意思为一个无向图里面至少有一个顶点，并且顶点的个数是有限的）
$E$ 是边集，它是无序积 $V$ & $V$ 的一个有穷的多重子集通俗来说就是可以存在重边，以及自环

有向图
$D=<V, E>$
和无向图的区别就是边是有方向的

几个概念

n阶图 : 有n个顶点
零图 : 没有边
平凡图：只有一个顶点，没有边，即一阶零图
空图：没有点，没有边记为 $\varnothing$ 在定义中规定顶点集非空，但是在图的运算中可能产生空图

在无向图 $G=<V, E>$ 中，设边 $e=(v_i, v_j) \in E$ $v_i, v_j$ 为 $e$ 的端点
那么 $e$ 与 $v_i(v_j)关联$
如果 $v_i\neq v_j$ 那么 $v_i(v_j)$ 与 $e$ 的关联次数为1
如果 $v_i = v_j$ 那么 $v_i(v_j)$ 与 $e$ 的关联次数为2
若 $v_k$ 不是e的端点那么 $v_k$ 与 $e$ 的关联次数为0

简单来说
如果这条边是自环那个这个环所连的点与这个环的关联次数为2
如果是一条边那么边的两个端点与这条边的关联次数为1
其他点与这条边的关联次数自然就为0了

在无向图中

如果两个顶点之间至少有一条边这两个点相邻
如果两条边有一个共同的点这两条边相邻

有向图
$D=<V, E>$ 中， $e=<v_i, v_j> \in E$ $v_i, v_j$ 是 $e$ 的两个端点
$v_i$ 是 $e$ 的起点
$v_j$ 是 $e$ 的终点
$e$ 与 $v_i, v_j$ 关联
$v_i$ 到 $v_j$ 有一条边那么这两个顶点相邻
称为
$v_i$ 邻接 $v_j$
$v_j$ 邻接 $v_i$
如果一条边的终点是另一条边的起点那么这两边相邻
比如这样

这里写图片描述

此图中 $e_1$ 与 $e_2$ 相邻

在无向图和有向图中

没有边关联的点是孤立点
两个端点重合的边是环

顶点的度数
无向图 $G=<V, E>$ $v_i \in V$ 那么 $v_i$ 连了几条边那么它的度数就是多少
度记为 $d_G(v_i)$ 简记为 $d(v_i)$
每个环给端点提供的度数为2

有向图 $D=<V, E>$ $v_i \in V$
出度： $v_i$ 作为边的起点次数（即有多少条边从它指向另一个端点）记为 $d^+(v_i)$
入度： $v_i$ 作为边的终点次数 (即有多少条边指向它) 记为 $d^-(v_i)$
度数：作为边的端点次数记为 $d(v_i)$
显然
$d(v_i) = d^+(v_i) + d^-(v_i)$

度数为1的顶点为悬挂顶点
与悬挂顶点关联的边称为悬挂边
最大度： $\Delta = max\{d(v)\;| \; v \in V(D)\}$
最小度： $\delta = min\{d(v) \;|\; v \ int V(D)\}$
最大出度： $\Delta^+ = max\{d^+(v)\; | \; v \in V(D)\}$
最小出度： $\delta^+ = min\{d^+(v)\; | \; v \in V(D)\}$
最大入度： $\Delta^- = max\{d^-(v)\; | \; v \in V(D)\}$
最小入度： $\delta^- = min\{d^-(v)\; | \; v \in V(D)\}$