离散数学 图论基础知识总结

无序对:
两个元素构成的集合$\{a, b\}$称为无序对，
若$A, B$为两个集合，则 $\{\{a, b\} | a\in A \land b \in B\}$ 为$A$与$B$ 构成的无序积

与笛卡尔积的区别在于构成笛卡尔积是由有序对构成
无序积 中的无序对的两个元素不分次序同时又可以是相同的

多重集合
集合中的元素可以重复出现，和Multimap 或 Multiset 中类似

重复度为元素在多重集合中出现的次数

无向图

一个无向图G是一个二元组 , 即 $G = <V, E>$
$V$是顶点集，是一个非空的有穷集合（意思为一个无向图里面至少有一个顶点，并且顶点的个数是有限的）
$E$是边集，它是无序积$V$&$V$的一个有穷的多重子集 通俗来说就是 可以存在重边，以及自环

有向图
$D=<V, E>$
和无向图的区别就是 边是有方向的

几个概念

n阶图 : 有n个顶点
零图 : 没有边
平凡图：只有一个顶点，没有边，即一阶零图
空图：没有点，没有边记为 $\varnothing$ 在定义中规定顶点集非空，但是在图的运算中可能产生空图

在无向图$G=<V, E>$中，设边$e=(v_i, v_j) \in E$ $v_i, v_j$ 为$e$的端点
那么 $e$与$v_i(v_j)关联$
如果 $v_i\neq v_j$ 那么 $v_i(v_j)$ 与 $e$ 的关联次数为1
如果$v_i = v_j$ 那么 $v_i(v_j)$ 与 $e$的关联次数为2
若$v_k$不是e的端点 那么$v_k$与$e$的关联次数为0

简单来说
如果这条边是自环 那个这个环所连的点与这个环的关联次数为2
如果是一条边 那么边的两个端点与这条边的关联次数为1
其他点与这条边的关联次数自然就为0了

在无向图中

如果两个顶点之间至少有一条边 这两个点 相邻
如果两条边有一个共同的点 这两条边相邻

有向图
$D=<V, E>$ 中， $e=<v_i, v_j> \in E$ $v_i, v_j$是$e$的两个端点
$v_i$是$e$的起点
$v_j$是$e$的终点
$e$与$v_i, v_j$关联
$v_i$到$v_j$有一条边 那么这两个顶点相邻
称为
$v_i$邻接$v_j$
$v_j$邻接$v_i$
如果一条边的终点是另一条边的起点 那么这两边相邻
比如这样

此图中 $e_1$与$e_2$ 相邻

在无向图和有向图中

没有边关联的点 是 孤立点
两个端点重合的边 是 环

顶点的度数
无向图$G=<V, E>$ $v_i \in V$ 那么$v_i$连了几条边 那么它的度数就是多少
度记为$d_G(v_i)$ 简记为$d(v_i)$
每个环给端点提供的度数为2

有向图$D=<V, E>$ $v_i \in V$
出度：$v_i$作为边的起点次数 （即有多少条边从它指向另一个端点） 记为$d^+(v_i)$
入度：$v_i$作为边的终点次数 (即有多少条边指向它) 记为$d^-(v_i)$
度数：作为边的端点次数 记为$d(v_i)$
显然
$d(v_i) = d^+(v_i) + d^-(v_i)$

度数为1的顶点为悬挂顶点
与悬挂顶点关联的边称为悬挂边
最大度：$\Delta = max\{d(v)\;| \; v \in V(D)\}$
最小度：$\delta = min\{d(v) \;|\; v \ int V(D)\}$
最大出度：$\Delta^+ = max\{d^+(v)\; | \; v \in V(D)\}$
最小出度：$\delta^+ = min\{d^+(v)\; | \; v \in V(D)\}$
最大入度：$\Delta^- = max\{d^-(v)\; | \; v \in V(D)\}$
最小入度：$\delta^- = min\{d^-(v)\; | \; v \in V(D)\}$

握手定理
各顶点的度数之和为边数的两倍
$\sum_{i=1} ^ n d(v_i) = 2m$
推论
任何图中，度数为奇数的顶点个数是偶数

简单证明:
$\because$ 所有度数之和必为偶数(由握手定理)
$\because$ 奇数个奇数+（偶数个或者奇数个）偶数 = 奇数
$\therefore$ 矛盾

定理6.2

所有顶点入度之和($\sum_(i=1)^nd^+(v_i)$)=所有顶点出度之和($\sum_{i=1}^nd^-(v_i)$)=边数(m)

度数列
设$V=\{v_1, v_2,\ldots,v_n \}$ 为n阶图G的顶点集
称$d(v_1), d(v_2), \ldots, d(v_n)$ 为G的度数列

对于有向图 可继续划分为 出度列和入度列

几个概念
平行边
在无向图中，关联一对顶点的无向边多余1条，这些边统称为平行便
重数
平行边的条数成为重数

有向平行边
有向图中，关联一对顶点的有向边多于1条，并且起点和终点相同（或者理解为方向相同）

多重图
含平行边的图

简单图
既不含平行边也不含环的图

显然 n阶简单无向图
$\Delta \leq n - 1$

无向完全图
记为$K_n$
简单说：每对顶点之间都有一条边的无向简单图
$m = C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$

有向完全图
简单说：每对顶点之间均有两条方向相反的边的有向简单图
$m = 2C_n^2 = n(n - 1)$

$k-$正则图
无向简单图中，各顶点度数均等于k
由握手定理知 n阶$k-$正则图中边数$m=\frac{kn}{2}$

n阶无向圈图
共有n条边，并且边的顺序是按点的顺序
直接给图：

边集$E = \{<v_1, v_2>, <v_2, v_3>, <v_3, v_4>, <v_4, v_1>\}$
记为$C_n$

n阶有向圈图
和n阶无向圈图一样，只不过边加上了方向
给图：

边集$E = \{<v_1, v_2>, <v_2, v_3>, <v_3, v_4>, <v_4, v_1>\}$
记为$C_n$

n阶轮图
就是在无向圈$C_{n-1}(n \geq 4)$ 内放置一个顶点，使得该顶点与$C_{n-1}$上的每个顶点相邻
所得的简单图 即为n阶轮图，记为$W_n$

n方体图
简单来说，就是每个顶点与它相邻的顶点，他们的顶点标号的二进制表示只有一位不同 记为$Q_n$

子图

$G=<V,E>,G^{'}=<V^{'}, E^{'}>$
两图都是无向图，或者两图都是有向图
如果$G^{'}中的点集和边集都\subseteq G$
那么$G^{'}是G的子图，G是G^{'}的母图$ 记为$G^{'} \subseteq G$
如果$G^{'} \not= G$ 那么$G^{'}是G的真子图$
如果$V^{'} = V$ 那么 $G^{'}是G的生成子图$ (简单来说：生成子图就是 包含母图的所有顶点，但是包含一部分边（或者全部边）)

如果$\varnothing \not= E_1 \subseteq E$
并且$V_1$为以$E_1$中的边关联的顶点全体为顶点集的$G$的子图
称为$E_1$的导出子图 记作$G[E_1]$

简单来说，就是取母图中的一个子边集，并且这些边的两端的端点构成子点集。

补图

就是在原图中，保留所有顶点，然后加边，使得原图变成完全图$K_n$ 然后去掉原有的边，所得的图就是补图
$\overline{G} = V$&$V$ - $G$

ps:原图和补图互为补图

如果
$\overline{G}\cong G$ 那么称它们为自补图

图的同构
简单来说 如果其中一个图通过变换可以变成另一个图，那么两图同构 记为$G_1 \cong G_2$
或者说 若它们都是标定图，可以通过调整一个图的顶点次序，使得$G_1$和$G_2$有相同的度数列，那么两图同构

图的连通性
通路
$G=<V,E>, 设G中顶点和边的交替序列为\Gamma=v_0e_1v_1e_2\cdots e_lv_l$
要求:$v_{i-1}是e_i的起点，v_i是e_i的终点$ $i=1, 2,\cdots, l$
那么$\Gamma 为v_0到v_l的回路$
$\Gamma 中所含边数即为\Gamma 的长度$
若$v_0 = v_l$那么称通路为回路 （简单来说，就是通路的起点和终点一样）

简单通路
$\Gamma 中所有边各异$，便是简单通路
若$v_0=v_l$ 那么称$\Gamma 为简单回路$

初级通路
$\Gamma 中所有顶点各异，且所有边各异$ 称为初级通路或路径
若$v_0=v_l$ 那么称$\Gamma$ 为初级回路或圈
长度为奇数的圈为奇圈，长度为偶数的圈为偶圈

复杂通路
在初级通路的基础上，$\Gamma 中有重边$ 称$\Gamma 为复杂通路$
$v_0 = v_l$ 复杂回路

备注
在无向图中，长度为1的圈由环给出，长度为2的圈由两条平行边给出，在无向简单图中，圈长至少为3,。
在有向图中，长度为1的圈由环给出。在有向简单图中，圈长至少为2

定理6.3
在一个n阶图中，若从顶点$u$到$v$$(u\not= v)$存在通路，则从$u到v存在长度\leq n-1 的初级通路$
简单证明：把通路中重复出现的顶点去掉，这条通路就变成初级通路，既然顶点各异，边各异，长度必然$\leq n - 1$

定理6.4
在一个n阶图中，如果存在$v到自身的简单回路$, 则从$v$到自身存在长度不超过$n$的初级回路
简单证明：也是把重复顶点去掉

无向图连通性
若$v_i 与v_j 之间存在通路$ 那么$v_i 与v_j 是连通的$
规定$v_i与自身连通$

连通图
无向图$G$是平凡图（一阶零图，即只有一个顶点，没有边）或者$G$中任意两个顶点都是连通的，则称$G$是连通图
否则称$G$是非连通图

连通分支
在原图的一个子图中，其中任意两个顶点都是相互可达，并且其中的任意顶点与子图以外的顶点都是不可达，那么称这个子图为连通分支（连通块）
连通分支的个数记为$p(G)$ 对于一个连通图，$p(G) = 1$

短程线
$v_i与v_j是连通的话，那么短程线就是v_i到v_j之间长度最短的通路$
短程线的长度称为$v_i到v_j之间的距离$
记为$d(v_i, v_j)$ 若$v_i与v_j之间不连通，那么规定d(v_i, v_j) = \infty$

三条性质
1° $d(v_i, v_j) \geq 0 并且当v_i = v_j 时，等号成立$
2° $d(v_i, v_j) + d(v_j, v_k) \geq d(v_i, v_k)$
3° $d(v_i, v_j) = d(v_j, v_i)$

点割集
如果删去原图中的一些点，使得原图的连通性被破坏，或者说连通分支数量增加，并且如果少删一些点不能导致破坏连通性，那么这些点的集合称为点割集，如果点割集中只有一个点，那么称其为割点

备注：悬挂顶点不可能出现在点割集中

边割集
删去一些边，使得破坏连通性，并且少删一条都不行。 这些边组成的集合称为边割集，简称割集。若只有一条边，则称该边为割边或者桥

备注
1° 完全图$K_n$无点割集
2° n阶零图既无点割集，也无边割集
3° 若$G$是连通图，$E^{’}$为$G$的边割集，那么$p(G-E^{'}) = 2$
4° 若$G$是连通图，$V^{'}是G的点割集$，则$p(G - V^{'}) \geq 2 而且可能p(G - V^{'}) \gt 2$

点连通度
$\kappa(G) = min\{|V^{'}|\;|\; V^{'}是G的点割集或V^{'}使(G-V^{'})只有一个顶点\}$
那么称$\kappa(G)是G的点连通度$

边连通度
$\lambda(G) = min\{|E^{'}|\;|\; E^{'}是G的边割集\}$
那么称$\lambda(G)为G的边连通度$

备注
1° $若G是平凡图，则\kappa(G) = \lambda(G) = 0 这里约定 min\varnothing = 0$
2° $若G是完全图K_n,由于G无点割集，那么显然当删除n-1个顶点之后，G变成平凡图，所以\kappa(G) = n - 1$
3° $若G中存在割点，则\kappa(G) = 1；若G中存在割边（桥），则\lambda(G) = 1$

定理6.5
对于任何无向图G，有
$\kappa(G) \leq \lambda(G) \leq \delta(G)$

有向图连通性
$设D = <V, E> 为有向图，设v_i,v_j为D中任意两个顶点$
$v_i 到v_j之间有通路，那么称v_i 可达v_j，规定v_i到自身总是可达$
$若v_j可达v_i ，那么称v_i 与v_j 是相互可达的$
$若v_i 到v_j 之间存在通路，那么最短的通路称为短程线，短程线的长度称为v_i到v_j的距离$

弱连通图或连通图
$D为一有向图，如果略去方向所得图是连通图，那么D为弱连通图或连通图$

单向连通图
$D中任意两顶点至少一个可达另一个$

强连通图
$D中任意两顶点相互可达$

$判别有向图D是否为强联通或是否为单向连通$
1° $若有向图D中存在经过每个顶点至少一次的回路，则D是强联通的$
2° $若有向图D中存在经过每个顶点至少一次的通路，则D是单向连通的$

图的矩阵表示

无向图的关联矩阵
$设无向图G = <V, E>,V = \{v_1, v_2, \cdots , v_n\}, E = \{e_1, e_2, \cdots, e_m\}$
$令m_{ij}为顶点v_i与边e_j的关联次数,则称(m_{ij})_{n\times m}为G的关联矩阵，记作M(G)$

$m_{ij}的取值有三种$
$0(v_i与e_j不关联)$
$1(v_i与e_j关联一次)$
$2(e_j是以v_i为端点的环)$

五条性质
1° $\sum_{i=1}^n m_{ij} = 2，即M(G)各列元素之和为2$
2° $\sum_{i=1}^m m_{ij} = d(v_i)，即M(G)第i行元素之和为v_i的度数$
3° $\sum_{i=1}^n d(v_i) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} = \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}{n} = \sum_{i=1}^{m}2 = 2m(握手定理)$
4° $若第j列与第k列相同，当且仅当e_j与e_k是平行边$
5° $\sum_{j=1}^{m} m_{ij} = 0，当且仅当顶点v_i为孤立点$

有向无环图的关联矩阵
有向图中的$m_{ij}有三种取值$
$1(v_i为e_j的起点)$
$0(v_i与e_j不关联)$
$-1(v_i是e)j的终点)$

五条性质
1° 每列恰有一个1和一个-1(规定图中无环)
2° 1的总个数等于-1的总个数，等于边数
3° $第i行中1的个数等于v_i的出度，-1的个数等于v_i的入度$
4°$第j列与第k列相同当且仅当e_j和e_k是平行边$
5° $第i行全为0当且仅当v_i是孤立点$

有向图的邻接矩阵
设有向图$D=<V,E>,V = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\}, |E| = m, 令a_{ij}^{(1)}为顶点v_i邻接到顶点v_j的边的条数，称(a_{ij}^{(1)})_{n \times n} 为D 的邻接矩阵，记为A(D)$

两条性质
1° $第i行元素之和为v_i的出度$
2° $第j列元素之和为v_j的入度$

定理6.6
$A^l (l \geq 1)中的元素a_{ij}^{(l)}是v_i到v_j长度为l的通路数， \sum_{i,j}a_{ij}^(l)是D中长度为l的通路总数， 其中\sum_i a_{ij}^{(l)}是D中长度为l的回路总数$

推论
$B_l = A + A^2 + \cdots + A^l(l \geq 1), 则B_l的元素b_{ij}^{(l)}是D中长度小于等于l的回路总数$

可达矩阵
$1表示v_i可达v_j$
$0表示不可达$

三条性质
1° $主对角线上的元素全为1，即p_{ij} = 1, i \leq i \leq n$
2° $D是强联通，当且仅当P(D)的元素全为1$
3° $p_{ij} = 1 当且仅当 b_{ij} ^{(n-1)} \not= 0, 1 \leq i,j \leq n 且 i \not= j$

欧拉通路
$G中存在经过每条边一次且一次的通路$
欧拉回路
$G中存在经过每条边一次仅一次的回路$
欧拉图
具有欧拉回路的图

定理6.10
判断欧拉图
$无向图G中有欧拉回路，当且仅当G是连通图并且没有奇度顶点$
$有向图D有欧拉回路，当且仅当D是连通的且所有顶点的入度等于出度$

哈密顿通路
$G中经过每个顶点一次仅一次的通路$
哈密顿回路
$G中经过每个顶点一次仅一次的回路$
哈密顿图
$G中存在哈密顿回路$

三个性质
1° $存在哈密顿通路（回路）的图一定是连通图$
2° $哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路$
3° $若G中存在哈密顿回路，则一定存在哈密顿通路，反之不真$

定理6.12
若删去一些点后，连通分支数>删去的点数，那么这个图一定不是哈密顿图

推论
有割点的图一定不是哈密顿图

定理6.13
$设G是n(n \geq 3)阶无向简单图，若对于G中每一对不相邻的顶点u,v, 均有$
$d(u) + d(v) \geq n - 1， 那么G中存在哈密顿通路$
$若 d(u) + d(v) \geq n，那么G中存在哈密顿回路，即G是哈密顿图$

推论
$设G是n(n \geq 3)阶无向简单图，若\delta(G) \geq \frac{n}{2},则G是哈密顿图$

定理6.14
$在n(n \geq 2)阶有向图D = <V, E> 中，如果略去所有有向边的方向，所得无向图中含生成子图K_n，则D中存在哈密顿通路$