最长上升子序列

解题思路：

1.找子问题

首先要确保无后效性，不能将子问题变成“求序列前n个元素的最长上升子序列的长度”，因为可能有多个子序列满足条件，但不能保证每一个子序列最后的元素都满足an<a(n+1)，这样就需要考虑这个子序列是怎么来的，所以不具有无后效性。

应该把子问题分解成为“以ak为终点的最长上升子序列长度”，将n个子问题解决，原问题也解决。

2.确定状态

N个状态

3.找出转移方程：

maxLen(k)表示以ak做为终点的最长上升子序列的长度。

初始状态：max{maxLen(i):1<=i<k且ai<ak且k≠1}+1

若找不到这样的i，则maxLen(k)=1

maxLen(k)的值就是在ak左边，终点数值小于ak，且长度最大的那个最长上升子序列的长度再加1，因为任何ak左边终点小于ak的最长上升子序列加上ak就能形成更长的上升子序列。

代码:

const int MAXN=1010;

int a[MAXN];

int maxLen[MAXN];

int main()

{

    int N;   cin>>N;

    for(int i=1;i<=N;i++)

    {

         cin>>a[i];   maxLen[i] = 1;

    }

    for(int i =2;i<=N;i++)

    {

        for(int j =1;j<i;j++)

        {

             if(a[i]>a[j])

                  maxLen[i] = max{maxLen[i],maxLen[j]+1;

        }

    }

    cout<<*max_element(maxLen+1,maxLen+N+1);

    return 0;

}