随机过程笔记（润色）

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前言

P1知识回顾

1. 线性的定义（向量空间角度）

1.1 两个集合

• 对象集：$V$：向量的集合（元素可以是函数、序列、矩阵等）
• 辅助集：$F$：标量域（常取实数域 $\mathbb{R}$ 或复数域 $\mathbb{C}$）

1.2 运算规则

• 向量加法：$u+v\in V$
• 标量乘法：$au\in V$，其中 $a\in F$
  必须满足向量空间八条公理（封闭性、结合律、交换律、分配律、零向量、负向量、单位元等）。

加法封闭性：$u+v\in V$

标量乘法封闭性：$au\in V$

加法交换律：$u+v=v+u$

加法结合律：$(u+v)+w=u+(v+w)$

存在零向量：$0\in V$，使得 $u+0=u$

每个向量有加法逆元：$u+(-u)=0$

标量乘法结合律：$a(bu)=(ab)u$

分配律：$a(u+v)=au+av$ 和 $(a+b)u=au+bu$

那么 $(V,F)$ 就是一个向量空间，其中的“线性”就是指遵守这些规则的运算与组合

1.3 非允许的运算

在向量空间的定义中，不包括：

• 向量与向量的乘积（如 $u\cdot v$，除非定义额外的代数结构）
• 向量间的除法（如 $u/v$）

2. 线性组合

若 $x,y,z\in V$ 且 $a$