0x3A Cutting Game （博弈论，SG函数）

最新推荐文章于 2024-05-29 17:15:11 发布

Hacheylight

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分类专栏： SG函数 ———博弈论——— 算法竞赛进阶指南刷题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/HQG_AC/article/details/86756288

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SG函数

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———博弈论———

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本文深入探讨了SG函数在博弈论中的应用，特别是在有向图游戏中。通过定义mex和SG函数，解释了如何确定游戏状态的胜负，并提供了一个具体的纸张剪切问题实例，展示了如何使用动态规划和记忆化搜索求解SG函数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这是一道经典的 $S G$ 函数题目

存在SG函数的博弈问题都是有向图游戏

首先定义 $m e x (S)$ 表示不属于集合 $S$ 的最小非负整数

$S G (x)$ 的定义为 $mex\{SG(y_1),SG(y_2),SG(y_3),....SG(y_k)\}$ ，其中 $y_1...y_k$ 表示 $x$ 能够转移到的状态

有向图游戏的和等于给个游戏函数值的异或和，即 $SG(G)=SG(G_1) \ xor \ SG(G_2) \ xor ... \ xor \ SG(G_k)$
当起点的 $S G$ 函数大于0则必胜，否则必败

这个题目就是每次给某张纸剪一下使他分成两块，最终剪出 $1 * 1$ 的玩家获胜

首先 $1 * 1$ 肯定是一个必胜局面

那么显然 $2 * 2, 2 * 3, 3 * 2$ 都是必败局面

那么能够通过 $S G$ 函数解决此题

定义 $S G (i, j)$ 表示纸张大小为 $i * j$ 时的 $S G$ 函数

那么能够轻松地知道

$SG(n,m−i)})SG(n,m)=mex(\{SG(i,m) \ xor \ SG(n-i,m)\} \cup \{SG(n,i) \ xor \ SG(n,m-i)\})$

通过上述方程转移SG函数，通过记忆化搜索即可解决本问题

#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <string>
#include <numeric>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <climits>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std ;
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
#define loop(s, v, it) for (s::iterator it = v.begin(); it != v.end(); it++)
#define cont(i, x) for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
#define clr(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define ass(a, sum) memset(a, sum, sizeof(a))
#define lowbit(x) (x & -x)
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define iv inline void
#define enter cout << endl
#define siz(x) ((int)x.size())
#define file(s) freopen(s".in", "r", stdin), freopen(s."out", "w", stdout)
typedef long long ll ;
typedef unsigned long long ull ;
typedef pair <int, int> pii ;
typedef vector <int> vi ;
typedef vector <pii> vii ;
typedef queue <int> qi ;
typedef set <int> si ;
typedef map <int, int> mii ;
typedef map <string, int> msi ;
const int N = 210 ;
const int INF = 0x3f3f3f3f ;
const int iinf = 1 << 30 ;
const ll linf = 2e18 ;
const int MOD = 1000000007 ;
const double eps = 1e-7 ;
void print(int x) { cout << x << endl ; exit(0) ; }
void PRINT(string x) { cout << x << endl ; exit(0) ; }
void douout(double x){ printf("%lf\n", x + 0.0000000001) ; }

int n, m ;
int dp[N][N] ;

int sg(int n, int m) {
	if (dp[n][m] != -1) return dp[n][m] ;
	bool g[N] = {0} ;
	rep(i, 2, m / 2) g[sg(n, i) ^ sg(n, m - i)] = 1 ;
	rep(i, 2, n / 2) g[sg(i, m) ^ sg(n - i, m)] = 1 ;
	for (int i = 0;; i++) if (!g[i]) return dp[n][m] = i ;
}

signed main(){
	ass(dp, -1) ;
	while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
		if (sg(n, m) > 0) puts("WIN") ;
		else puts("LOSE") ;
	}
	return 0 ;
}

/*
写代码时请注意：
	1.ll？数组大小，边界？数据范围？
	2.精度？
	3.特判？
	4.至少做一些
思考提醒：
	1.最大值最小->二分？
	2.可以贪心么？不行dp可以么
	3.可以优化么
	4.维护区间用什么数据结构？
	5.统计方案是用dp？模了么？
	6.逆向思维？
*/