有限元法和边界元法之间定义与区别

一、有限元法(Finite Element Method, FEM)

1、定义与基本思想

有限元法是一种高效的数值分析方法,它通过将连续的求解区域离散化为一组有限的、相互连接的单元(或称为“有限元”),并在每个单元上近似求解,以此来近似求解整个连续体的问题。这一方法起源于结构矩阵分析,特别是杆系结构矩阵分析,其核心思想是将复杂的结构或物理场问题简化为一系列简单单元的组合,并求解这些单元上的未知量。

2、特点与优势

灵活性:有限元法能够处理各种复杂的几何形状和边界条件,对于非线性、非匀质问题也具有很好的适应性。

精度可控:通过调整单元的大小、形状和插值函数的阶数,可以灵活控制求解的精度。

应用广泛:有限元法已广泛应用于结构分析、热传导、流体力学、电磁场分析等多个领域。

3、主要步骤

离散化求解域:将连续的求解域划分为一系列小的单元。

选择插值函数:在每个单元内部选择一个或多个插值函数来近似表示未知函数。

建立控制方程:根据物理问题的性质建立偏微分方程或积分方程,并将其应用于每个单元。

应用边界条件和初始条件:将物理问题的边界条件和初始条件转化为对单元节点上未知量的约束。

求解方程组:将所有单元上的方程组合成一个大型的线性或非线性方程组,并求解该方程组得到节点上的未知量。

后处理:根据求解结果进行必要的后处理,如计算应力、温度、位移等物理量的分布,并进行可视化展示。

二、边界元法(Boundary Element Method, BEM)

1、定义与基本思想

边界元法是一种继有限元法之后发展起来的数值分析方法,它只在定义域的边界上划分单元,通过求解边界上的未知量来近似求解整个问题域的解。边界元法基于边界归化及边界上的剖分插值,通过求解边界积分方程来得到问题的解。

2、特点与优势

降维处理:边界元法通过将问题域降维处理(如三维问题降为二维边界问题),显著降低了求解问题的复杂度和计算量。

高精度:由于边界元法利用微分算子的解析基本解作为边界积分方程的核函数,具有解析与数值相结合的特点,因此通常具有较高的精度。

便于处理无限域问题:边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题,因为微分算子的基本解能自动满足无限远处的条件。

3、主要步骤

离散化边界:将求解域的边界划分为一系列小的单元。

建立边界积分方程:根据物理问题的性质建立边界积分方程。

离散化边界积分方程:通过边界分元插值离散化边界积分方程,将其转化为代数方程组。

求解代数方程组:求解离散化后的代数方程组得到边界上的未知量。

后处理:根据边界上的解进行必要的后处理,如计算域内各点的函数值等。

 

三、有限元法与边界元法的不同

有限元法和边界元法作为两种重要的数值分析方法,在多个方面存在显著的区别。以下是对这两种方法之间区别的详细解释:

1、基本思想与适用范围

  • 有限元法(Finite Element Method, FEM)
    • 基本思想:有限元法通过将连续的求解区域离散化为一组有限的、相互连接的单元(或称为“有限元”),并在每个单元上近似求解,以此来近似求解整个连续体的问题。这种方法基于区域上的变分原理和剖分插值,将复杂的结构或物理场问题简化为一系列简单单元的组合。
    • 适用范围:有限元法广泛适用于各种复杂的几何形状和边界条件,以及求解非线性、非匀质问题。它已经成为结构分析、热传导、流体力学、电磁场分析等多个领域的重要工具。
  • 边界元法(Boundary Element Method, BEM)
    • 基本思想:边界元法是一种只在定义域的边界上划分单元,通过求解边界上的未知量来近似求解整个问题域的解的数值分析方法。它基于边界归化及边界上的剖分插值,通过求解边界积分方程来得到问题的解。
    • 适用范围:边界元法特别适合于处理位势问题、弹性问题等,且在处理无限域问题和奇异性问题时具有显著优势。然而,在处理弹塑性问题或大的有限变形问题时,由于需要对物体进行体积离散,边界元法的降维优点会消失,因此在这些领域的应用受到限制。

2、维数处理与自由度

  • 有限元法:属于区域法,其剖分涉及到整个区域,因此问题的维数保持不变。例如,三维问题仍然需要三维求解,这导致求解的自由度相对较高。
  • 边界元法:通过只在边界上划分单元,使问题的维数降低一维。例如,三维问题可以转化为二维边界问题进行求解,从而显著降低了求解的自由度和计算量。

3、精度与速度

  • 精度:在相同离散精度的条件下,边界元法通常能提供比有限元法更高的解精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题(如应力集中问题)或边界变量出现奇异性的裂纹问题,边界元法被公认为更加精确高效。
  • 速度:在问题的规模(自由度)不大的情况下,边界元法的解题速度通常高于有限元法。然而,由于边界元法形成的线性方程组的系数矩阵是满阵,且一般不能保证正定对称性,因此在处理大规模问题时会遇到困难,解题规模受到限制。相比之下,有限元法在求解大规模问题时具有更好的适应性。

4、软件商业化程度与编程难度

  • 有限元法:经过多年的发展,有限元法的软件商业化程度较高,市场上存在多种成熟的有限元分析软件(如ANSYS、ABAQUS等),这些软件提供了丰富的功能和良好的用户界面,使得用户可以方便地进行问题建模和求解。
  • 边界元法:相比之下,边界元法的软件商业化程度远不如有限元法。因此,在处理问题时,一般需要针对具体问题专门编制程序进行计算。这增加了编程的难度和复杂性,同时也限制了边界元法的普及和应用范围。

5、其他差异

  • 基本解:边界元法解题需要求出问题的基本解,而基本解的推导一般比较复杂。虽然对于一些问题基本解已经被推导出来,但对于某些问题仍然难以求出。相比之下,有限元法则不需要显式地求出问题的基本解。
  • 求解过程:有限元法必须同时对所有域内节点和边界节点联立求解,而边界元法只需对边界节点联立求解,然后可以相互独立、完全并行的计算域内各点的函数值。这使得边界元法在求解某些问题时具有更高的效率。
有限元法(FEM)边界元法(BEM)
基本思想基于区域上的变分原理和剖分插值,将连续体离散为有限单元基于边界归化及边界上的剖分插值,只在边界上划分单元
应用范围广泛适用于复杂几何形状和边界条件,非线性、非匀质问题主要适用于规则区域及边界条件,线性、匀质问题;特别便于处理无限域及半无限域问题
精度与速度精度可控,适用于大规模问题;求解速度取决于问题规模和算法效率精度较高,尤其在处理边界变量变化梯度大或奇异性问题时;但处理大规模问题时受限
降维处理不进行降维处理,问题维数保持不变通过降维处理(如三维降为二维),降低求解复杂度
方程特点形成的线性或非线性方程组系数矩阵通常带状稀疏且对称正定形成的线性方程组系数矩阵为满阵,一般不能保证正定对称性
前处理与后处理数据准备和计算量相对较大,但软件商业化程度高,有成熟软件支持数据准备相对简单,但软件商业化程度低,通常需针对具体问题编制程序
软件应用市场上存在多种成熟的有限元分析软件,如ANSYS、ABAQUS等边界元法软件较少,多由科研机构或专业团队开发

综上所述,有限元法和边界元法各有其独特的优势和应用范围。在实际应用中,应根据具体问题的特点和需求选择合适的方法进行分析和求解。

书名:有限方法的数学基础 图书编号:1040680 出版社:科学出版社 定价:20.0 ISBN:703013478 作者:王烈衡 出版日期:2005-06-30 版次:1 开本:大32开 简介: 本书为《中国科学院研究生教学丛书》之一。 本书是作者最近十多年为中国科学院研究生院、北京大学以及中国科学技术大学(合肥)研究生开设课程的讲稿基础上发展起来的,试图提供有限方法比较完整的数学基础,主要包括变分原理、Sobolev空间、椭圆边值问题、有限离散、协调有限方法的误差分析、数值积分影响、等参数有限、非协调有限、混合有限元法、多重网格法、多水平方法、区域分解法等内容。本书内容全面,材料丰富,深入浅出,用尽可能初等的方法论述一些理论结果。 本书适合高等院校计算数学应用数学专业的研究生及高年级本科生,也可作为有兴趣于数学理论方面的工程师的参考书。 目录: 引论第1章 变分原理1·1 可微二次凸泛函的极小化问题1·2 不可微凸泛函的极小化问题1·3 多函数微分学第2章 Sobolev空间2·1 Lebesgue积分2·2 广义(弱)导数2·3 Sobolev空间2·4 嵌入定理2·5 迹定理2·6 Sobolev空间中的Green公式2·7 等价模定理第3章 椭圆边值问题3·1 阶椭圆型方程边值问题3·2 线弹性边值问题3·3 变分不等式3·4 四阶椭圆边值问题第4章 有限离散4·1 有限离散的基本特性4·2 三角形单4·3 矩形单4·4 四阶问题的协调有限单4·5 记号及一般概念第5章 协调有限方法的误差分析5·1 收敛性的一般考虑5·2 Sobolev空间中的分片多项式插值5·3 多边形区域上二阶问题的有限误差5·4 有限空间中的反不等式5·5 有限方法的非整数阶误差估计5·6 非光滑函数的插值(C1ément插值)第6章 数值积分影响,等参数有限6·1 有限方法中的数值积分6·2 数值积分下的抽象误差估计6·3 相容误差估计6·4 曲边区域的有限逼近6·5 等参数有限6·6 等参的插值误差6·7 等参的误差估计第7章 非协调有限7·1 抽象误差估计7·2 二阶问题的非协调7·3 阶问题的非协调7·4 平面弹性问题的有限方法及闭锁问题第8章 混合有限元法8·1 混合变分形式8·2 Babuska-Brezzi理论8·3 阶椭圆问题的混合有限方法8·4 Stokes问题的混合有限方法第9章 多重网格法9·1 多重网格法的思想9·2 W循环多重网格法的收敛性9·3 V循环多重网格法的收敛性9·4 套迭代及其工作量的估计9·5 瀑布型多重网格法第10章 多水平方法10·1 分层基方法10·2 BPX多水平方法第11章 区域分解法11·1 经典Schwarz交替法11·2 两水平加性Schwarz方法11·3 非重叠型Schwarz方法11·4 D-N交替法11·5 子结构方法参考文献
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