最短路——SPFA

Bellman-Ford基础上的队列优化,效率比较高,可以检测负环。

const int maxn = 110;
const int max_int = ~(1<<31);
const int min_int = (1<<31);

bool inq[maxn];
int cost[maxn][maxn], dist[maxn], cnt[maxn], q[maxn], front, rear;
//[0,max_int]

int min(int a, int b){
	return a < b ? a : b;
}

int spfa(int s){
	memset(inq, 0, sizeof(inq));
	memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
	for(int i = 0; i < n; ++i){
		dist[i] = max_int;
	}
	dist[s] = 0;
	front = rear = 0;
	q[rear++] = s;
	inq[s] = true;
	++cnt[s];
	while(front != rear){
		int now = q[front++];
		inq[now] = false;
		for(int i = 0; i < n; ++i)if(cost[now][i] != max_int && dist[i] > dist[now] + cost[now][i]){
			dist[i] = dist[i] + cost[now][i];
			if(!inq(i)){
				q[rear++] = i;
				inq[i] = true;
				++cnt[i];
			}
			if(cnt[i] > n){
				return -1;
			}
		}
	}
}


### 关于洛谷 P1948 的分层短路径问题 #### 问题背景 洛谷 P1948 是一道典型的 **分层图短路径问题**。这类问题通常通过构建多个层次的图来模拟某些特殊条件下的状态转移,例如时间、费用或其他约束条件的变化。 --- #### 分层图的概念 分层图是一种扩展原图的方式,在原有基础上增加额外的状态维度(如层数)。每一层对应一种特定的状态或阶段,不同层之间可以通过某种规则相互连接[^3]。这种建模方式非常适合处理带有多重限制的短路径问题。 --- #### 解题思路分析 对于该问题的核心在于如何利用已知算法求解分层图中的短路径: 1. **模型转换** 将原始单层图转化为多层图,每层表示不同的状态变化。假设总共有 \( k \) 层,则每个节点会复制成 \( k \) 份,形成新的节点集合。相邻两层间按照题目给定的规则建立边的关系。 2. **适用算法选择** - 如果不存在负权边,可以采用 **Dijkstra 算法** 来高效求解。 ```python import heapq def dijkstra(graph, start_node): dist = {node: float('inf') for node in graph} dist[start_node] = 0 pq = [(0, start_node)] while pq: current_dist, u = heapq.heappop(pq) if current_dist > dist[u]: continue for v, weight in graph[u]: distance = current_dist + weight if distance < dist[v]: dist[v] = distance heapq.heappush(pq, (distance, v)) return dist ``` - 若存在负权边或者需要多次松弛操作验证更优解,则应选用 **Bellman-Ford 算法** 或其队列优化版本——**SPFA 算法**[^2]。 3. **初始化与边界条件** 设置初始点所在的具体位置以及目标终点的位置关系。特别需要注意的是,由于引入了更多虚拟节点和边,因此要仔细定义起始状态及其权重设置[^1]。 4. **复杂度考量** 构造后的分层图规模可能显著增大,需评估所选算法的时间开销是否会超出允许范围。一般情况下,\( O((V+E)\log V) \) 的 Dijkstra 性能优于线性的 Bellman-Ford (\(O(VE)\)) ,但在稀疏图上 SPFA 可能表现更好。 --- #### 示例实现代码 以下是基于 Python 的简单实现框架,展示如何应用上述方法解决问题: ```python from collections import deque, defaultdict def build_layered_graph(original_graph, layers_count, transition_rule): layered_graph = {} # 初始化各层节点并按规则连通它们 for layer in range(layers_count): for node in original_graph.keys(): key = (layer, node) if key not in layered_graph: layered_graph[key] = [] # 添加同层邻居 for neighbor, cost in original_graph[node]: next_key = (layer, neighbor) layered_graph[key].append((next_key, cost)) # 根据transition rule跨层链接 new_layer, extra_cost = transition_rule(layer, node) if new_layer >= 0 and new_layer < layers_count: cross_key = (new_layer, node) layered_graph[key].append((cross_key, extra_cost)) return layered_graph def spfa(graph, source): distances = defaultdict(lambda : float('inf')) predecessors = {} queue = deque() distances[source] = 0 queue.append(source) while queue: current = queue.popleft() for neighbor, edge_weight in graph.get(current, []): potential_new_distance = distances[current] + edge_weight if potential_new_distance < distances[neighbor]: distances[neighbor] = potential_new_distance predecessors[neighbor] = current if neighbor not in queue: queue.append(neighbor) return dict(distances), predecessors ``` --- #### 注意事项 - 转化过程中务必保持逻辑一致性,确保新增加的边满足实际意义; - 对大规模输入数据预估运行效率,必要时采取剪枝策略减少冗余运算; ---
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