最短路——spfa

转自：https://blog.youkuaiyun.com/xunalove/article/details/70045815 

求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。 
    SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。
    从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。 
    很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。

    简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路。
    我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值，可以用邻接矩阵或邻接表来存储图G，推荐使用邻接表。

spfa的算法思想（动态逼近法）：
    设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。 
    松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。 
    下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：

和广搜bfs的区别：
    SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似，不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进(重新入队)，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。

算法描述：

void spfa(int s)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));//vis[i]=1表示i点在队列q中，反之不在
    memeset(dis,inf,sizeof(dis));//dis[i]表示i点到源点的最短距离
    queue<int>q;
    q.push(s);
    vis[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
       int u=q.front();
       q.pop();
       vis[u]=0;
       for(i=head[u];i!=-1;i=eg[i].next)//eg[]是一个链表储存点和边的信息
       {
           int v=eg[i].to;
           int w=eg[i].w;
           if(dis[v]>dis[u]+w)
           {
               ans=min(ans,d[v]+d[u]);
               dis[v]=dis[u]+w;
               if(!vis[v])
               {
                  q.push(v);
                  vis[v]=1;
               }
           }
       }
    }
}

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