POJ1741——Tree 基于点的分治

Tree

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Description

Give a tree with n vertices,each edge has a length(positive integer less than 1001).
Define dist(u,v)=The min distance between node u and v.
Give an integer k,for every pair (u,v) of vertices is called valid if and only if dist(u,v) not exceed k.
Write a program that will count how many pairs which are valid for a given tree.

Input

The input contains several test cases. The first line of each test case contains two integers n, k. (n<=10000) The following n-1 lines each contains three integers u,v,l, which means there is an edge between node u and v of length l.
The last test case is followed by two zeros.

Output

For each test case output the answer on a single line.

Sample Input

5 4
1 2 3
1 3 1
1 4 2
3 5 1
0 0

Sample Output

8

Source

LouTiancheng@POJ


这题要我们计算所有满足距离之和小于等于k的点对的数目， n最大有10000，显然O(n^2)的做法是行不通的，看了部分09年漆子超 《分治算法在树的路径问题中的应用》，于是试着去理解这种做法，然后写下了这篇博客。

显然我们可以知道，这样的点对可以分为2种
1) 经过树的根
2)在某一棵子树里面

而2显然可以递归处理，所以我们把目光放在1

我们设dist[i]表示点i到根的距离，那么我们1要求的就是 dist[i] + dist[j] <= k && i,j 属于不同的子树，从论文中我们可以学到，      把所要求的转化为dist[i] + dist[j] <= k的所有点对减去dist[i] + dist[j] <= k && i,j处在同一个子树里的点对，这就是我们要求的东西

而统计点对数，我们可以在O(n)的时间内完成，操作就是给数组排个序，然后左边，右边分别移动下标，边移动边统计就OK了，复杂度O(n*logn)

接下来还有一个问题，如果这个树是一条链，那么每次去递归子树，复杂度显然会到达O(n^2)，所以这里又要引出一个内容：树的重心

树的重心是这样定义的：删掉重心以后，树被分为几个部分，使得那几个部分里点最多的那个部分的点数最少

树的重心我们可以通过树形dp在O(n)时间里求得，可以证明，如果每次都选取子树的重心作为根，那么递归次数最多不超过logn次，所以整个过程下来，复杂度是O(n*logn*logn)

先放上我的代码吧，也是结合了网上各个前辈的做法的
PS：我还想在代码下面写点关于代码理解的

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 10010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int num[N];
int head[N];
int dist[N];
int dp[N];
bool vis[N];
struct node
{
	int weight;
	int next;
	int to;
}edge[N << 1];

int tot, root, n, k, size, res, ans;

void addedge(int from, int to, int weight)
{
	edge[tot].weight = weight;
	edge[tot].to = to;
	edge[tot].next = head[from];
	head[from] = tot++;
}

void get_root(int u, int fa)
{
	num[u] = 1;
	dp[u] = 0;
	for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next)
	{
		int v = edge[i].to;
		if (v == fa || vis[v]) //-------------------------A
		{
			 continue;
		}
		get_root(v, u);
 		num[u] += num[v];
		dp[u] = max(dp[u], num[v]);
	}
	dp[u] = max(dp[u], size - num[u]);
	if (dp[u] < dp[root])
	{
		 root = u;
	}
}

void calc_dist(int u, int fa, int d)
{
	dist[res++] = d;
	for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next)
	{
		int v = edge[i].to;
		if (v == fa || vis[v])//--------------------------B
		{
			continue;
		}
		calc_dist(v, u, d + edge[i].weight);
	}
}

int counts(int u, int d)
{
	res = 0;
	calc_dist(u, -1, d);
	int ans = 0;
	sort(dist, dist + res);
	int i = 0;
	int j = res - 1;
	while (i < j)
	{
		while (i < j && dist[i] + dist[j] > k)
		{
		       j--;
		}
		ans += j - i;
		i++;
	}
	return ans;
}

void solve(int u)
{
	ans += counts(root, 0);
	vis[root] = 1;
	for (int i = head[root]; ~i; i = edge[i].next)
	{
		int v = edge[i].to;
		if (vis[v])
		{
			continue;
		}
		ans -= counts(v, edge[i].weight); // ------------------------------C
		root = 0;
		dp[0] = size = num[v];
 		get_root(v, -1);
		solve(v);
 	}
}

int main()
{
	 int u, v, w;
	 while (~scanf("%d%d", &n, &k))
	 {
		if (!n && !k)
		{
	         	break;
                }
		memset ( head, -1, sizeof(head) );
		memset ( num, 0, sizeof(num) );
		memset ( vis, 0, sizeof(vis) );
		tot = 0;
	        ans = 0;
		for (int i = 0; i < n - 1; ++i)
		{ 
 			scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
 			addedge(u, v, w);
			addedge(v, u, w);
		}
 		root = 0;
		dp[root] = size = n;
		get_root(1, -1);
 		solve(1);
 		printf("%d\n", ans);
 	}
 	return 0;
}

先来解释下注释C吧，

ans -= counts(v, edge[i].weight);

为什么是edge[i].weight而不是0，今天看的时候不知道是不是脑子短路了一直没理解，其实是这样的，root(当前树根)这棵树统计完了点对以后，其实已经包含了某些点对，它们处在同一个子树里，但是距离和确实小于等于k的，那么这里小于等于k是基于它们到点root的，所以在处理v这个子树的时候，我们需要把这样的点对给去掉，那么基准点当然还是以root为主，这样才能准确地去掉这些点对，所以要加上root --- v这条边上的权值

再来看A和B，为什么要加一个fa，由于建立的是无向边，所以得加一个fa，放止从子树跑到根上去
vis数组是为了防止访问到已经处理过的重心（子树的根），我们每次找到一个重心，要拿它当根来处理的时候，都会把它标记为已经访问过，如果不慎访问到了已经访问过的root（即子树），那么分治就被干扰了，或者说已经被破坏了，所以这个vis数组是一定要加上去的
基本就讲到这里，如果发现本人所写有错误，欢迎给我留言