Description
给一个包含n个点,m条边的无向连通图。从顶点1出发,往其余所有点分别走一次并返回。
往某一个点走时,选择总长度最短的路径走。若有多条长度最短的路径,则选择经过的顶点序列字典序最小的那条路径(如路径A为1,32,11,路径B为1,3,2,11,路径B字典序较小。注意是序列的字典序的最小,而非路径中节点编号相连的字符串字典序最小)。到达该点后按原路返回,然后往其他点走,直到所有点都走过。
可以知道,经过的边会构成一棵最短路径树。请问,在这棵最短路径树上,最长的包含K个点的简单路径长度为多长?长度为该最长长度的不同路径有多少条?
这里的简单路径是指:对于一个点最多只经过一次的路径。不同路径是指路径两端端点至少有一个不同,点A到点B的路径和点B到点A视为同一条路径。
解法:树形DP时,因为K很大,发现很难处理恰好K个点这个问题,考虑树分治,分治后,计算经过分治重心的路径,记maxval[x],为子树中经过x个点的最大值,那么枚举每一个点,根据此点的深度来计算需要的x,将maxval[X]与此点的dis[X]求和更新答案即可。(枚举的时候需要保证前面maxval[]数组中的数据,与当前点不在同一个重心儿子的子树中)
代码:(有一个小优化,若当前分治子树的节点数<K,那么可以直接返回,不再继续分治)
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
template <class T>
bool scanff(T &ret){ //Faster Input
char c; int sgn; T bit=0.1;
if(c=getchar(),c==EOF) return 0;
while(c!='-'&&c!='.'&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();
sgn=(c=='-')?-1:1;
ret=(c=='-')?0:(c-'0');
while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') ret=ret*10+(c-'0');
if(c==' '||c=='\n'){ ret*=sgn; return 1; }
while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') ret+=(c-'0')*bit,bit/=10;
ret*=sgn;
return 1;
}
#define inf 1073741823
#define llinf 4611686018427387903LL
#define PI acos(-1.0)
#define lth (th<<1)
#define rth (th<<1|1)
#define rep(i,a,b) for(int i=int(a);i<=int(b);i++)
#define drep(i,a,b) for(int i=int(a);i>=int(b);i--)
#define gson(i,root) for(int i=ptx[root];~i;i=ed[i].next)
#define tdata int testnum;scanff(testnum);for(int cas=1;cas<=testnum;cas++)
#define mem(x,val) memset(x,val,sizeof(x))
#define mkp(a,b) make_pair(a,b)
#define findx(x) lower_bound(b+1,b+1+bn,x)-b
#define pb(x) push_back(x)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
#define NN 30030
#define MM 60060
int ptx[NN],lnum;
int n,m,k;
int dis[NN],dn;
bool vis[NN];
int fa[NN],w[NN];
struct edge{
int v,next,w;
edge(){}
edge(int v,int next,int w){this->v=v;this->next=next;this->w=w;}
}ed[MM*2];
void addline(int x,int y,int w){
ed[lnum]=edge(y,ptx[x],w);
ptx[x]=lnum++;
}
void init(){
lnum=0;
rep(i,1,n)ptx[i]=-1,vis[i]=0;
}
struct node{
int idx,val;
node(){}
node(int idx,int val){this->idx=idx;this->val=val;}
bool operator <(node const temp)const{return val>temp.val;}
};
priority_queue<node> q;
void getmindis(int x){
while(!q.empty())q.pop();
rep(i,1,n)dis[i]=inf,vis[i]=0;
dis[x]=0;vis[x]=1;
q.push(node(x,0));
rep(i,1,n){
gson(j,x){
int y=ed[j].v;
if(vis[y])continue;
if(dis[x]+ed[j].w<dis[y]){
dis[y]=dis[x]+ed[j].w;
q.push(node(y,dis[y]));
fa[y]=x;
w[y]=ed[j].w;
}
else if(dis[x]+ed[j].w==dis[y])fa[y]=min(fa[y],x),w[y]=ed[j].w;
}
while(!q.empty()&&vis[q.top().idx])q.pop();
if(q.empty())break;
x=q.top().idx;
vis[x]=1;
q.pop();
}
}
int sz[NN],maxv[NN],maxval,len[NN],ln;
int center;
int getsize(int x,int fa){
sz[x]=1;
gson(i,x){
int y=ed[i].v;
if(y==fa||vis[y])continue;
sz[x]+=getsize(y,x);
}
return sz[x];
}
int getcenter(int r,int x,int fa){
maxv[x]=0;
gson(i,x){
int y=ed[i].v;
if(y==fa||vis[y])continue;
getcenter(r,y,x);
maxv[x]=max(maxv[x],sz[y]);
}
maxv[x]=max(maxv[x],sz[r]-sz[x]);
if(maxv[x]<maxval)maxval=maxv[x],center=x;
}
int anslen,anscot;
struct node2{
int dis,len,idx;
}dx[NN];
int getdis(int r,int x,int fa,int d,int l){
if(l<k){
dn++;
dx[dn].dis=d;
dx[dn].len=l;
dx[dn].idx=r;
gson(i,x){
int y=ed[i].v;
if(y==fa||vis[y])continue;
getdis(r,y,x,d+ed[i].w,l+1);
}
}
}
int cot[NN];
int calc(int x){
dn=0;
gson(i,x){
int y=ed[i].v;
if(vis[y])continue;
getdis(y,y,0,ed[i].w,1);
}
maxv[0]=0;
cot[0]=1;
rep(i,1,dn)cot[i]=maxv[i]=0;
rep(i,1,dn){
if(i==1||dx[i].idx!=dx[i-1].idx){
rep(j,i,dn){
if(dx[j].idx!=dx[i].idx)break;
if(dx[j].len<k&&cot[k-dx[j].len-1]){
if(dx[j].dis+maxv[k-dx[j].len-1]>anslen){
anslen=dx[j].dis+maxv[k-dx[j].len-1];
anscot=cot[k-dx[j].len-1];
}
else if(dx[j].dis+maxv[k-dx[j].len-1]==anslen){
anscot+=cot[k-dx[j].len-1];
}
}
}
}
if(maxv[dx[i].len]<dx[i].dis){
maxv[dx[i].len]=dx[i].dis;
cot[dx[i].len]=1;
}
else if(maxv[dx[i].len]==dx[i].dis)cot[dx[i].len]++;
}
}
void solve(int x){
maxval=inf;
getsize(x,0);
if(sz[x]<k)return; //优化加速
getcenter(x,x,0);
vis[center]=true;
calc(center);
gson(i,center){
int y=ed[i].v;
if(vis[y])continue;
solve(y);
}
}
int main(){
scanff(n);
scanff(m);
scanff(k);
init();
rep(i,1,m){
int x,y,w;
scanff(x);
scanff(y);
scanff(w);
addline(x,y,w);
addline(y,x,w);
}
getmindis(1);
init();
rep(i,2,n){
addline(i,fa[i],w[i]);
addline(fa[i],i,w[i]);
}
anslen=0;
anscot=0;
solve(1);
printf("%d %d\n",anslen,anscot);
return 0;
}
/*
8 7 2
1 2 3
1 3 2
2 4 2
2 5 1
5 8 1
3 6 3
3 7 3
*/