CodeForces 261B Maxim and Restaurant [数学+基础DP]

题意（抽象后）：给出N个占用空间为Ai的物体，现有空间大小P，对于物体的某个序列，从左至右依此塞到空间P中，直到塞到某一个Ai，空间容纳不下为止，此时P中含有i-1个物品。问对于物体的N！个序列，问最后放进去物体个数的期望。

范围：所有数小于50

解法：比较明显的背包模型，只是需要解决一个约束条件，即何时背包恰好装不下，这时可以枚举装不下的物体Ai，然后DP[I][J][K]表示前I个物体，选J个，总重量为K，但是不选Ai的方案数，这样就可以知晓恰好装到Ai却装不下的方案数。然后期望需要累加上 J*DP[N][J][K] * J！*（N-J-1）！ / N！ ，DP[N][J][K] 表示某个满足条件的状态；由于N！可能很大，需要边乘边除。

代码:

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
template <class T>
bool scanff(T &ret){ //Faster Input
    char c; int sgn; T bit=0.1;
    if(c=getchar(),c==EOF) return 0;
    while(c!='-'&&c!='.'&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();
    sgn=(c=='-')?-1:1;
    ret=(c=='-')?0:(c-'0');
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') ret=ret*10+(c-'0');
    if(c==' '||c=='\n'){ ret*=sgn; return 1; }
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') ret+=(c-'0')*bit,bit/=10;
    ret*=sgn;
    return 1;
}
#define inf 1073741823
#define llinf 4611686018427387903LL
#define PI acos(-1.0)
#define lth (th<<1)
#define rth (th<<1|1)
#define rep(i,a,b) for(int i=int(a);i<=int(b);i++)
#define drep(i,a,b) for(int i=int(a);i>=int(b);i--)
#define gson(i,root) for(int i=ptx[root];~i;i=ed[i].next)
#define tdata int testnum;scanff(testnum);for(int cas=1;cas<=testnum;cas++)
#define mem(x,val) memset(x,val,sizeof(x))
#define mkp(a,b) make_pair(a,b)
#define findx(x) lower_bound(b+1,b+1+bn,x)-b
#define pb(x) push_back(x)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;



ll dp[55][55][55];
int a[55];
int n,sum;
double ans;
int main(){

    ans=0.0;
    scanff(n);
    int tot=0;
    rep(i,1,n)scanff(a[i]),tot+=a[i];
    scanff(sum);
    if(tot<=sum){
        printf("%.10f\n",n*1.0);
        return 0;
    }
    rep(c,1,n){
        mem(dp,0);
        dp[0][0][0]=1;
        rep(i,1,n){
            rep(j,0,i-1)
            rep(k,0,sum){
                if(dp[i-1][j][k]){
                    dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k];
                    if(i!=c&&k+a[i]<=sum)dp[i][j+1][k+a[i]]+=dp[i-1][j][k];
                }
            }
        }
        rep(j,1,n){
            rep(k,max(0,sum-a[c]+1),50){
                if(dp[n][j][k]){
                    double temp=dp[n][j][k]*j;
                    int num=n-j;
                    int n1=n-j,n2=n;
                    rep(l,1,num){
                        temp*=double(n1);
                        temp/=double(n2);
                        n1--;n2--;
                    }
                    temp/=double(n-j);
                    ans+=temp;
                }
            }
        }
    }
    printf("%.10f\n",ans);
    return 0;
}