Stirling 数

最新推荐文章于 2020-11-08 16:04:56 发布

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#组合数学 stirling数

第一类stirling数：将n个不同的元素构成m个圆排列的方法数（每一种情况都是n个元素全部参与所构成m个圆排列）；

递推关系式：1.s(n,0)=s(0,n)=0;

2.s(n,n)=1;

3.s(n,m)=s(n-1,m-1)+(n-1)*s(n-1,m);

递推关系的说明：1.甲物体独自占一个圆排列，此时为s(n-1,m-1);

2.甲物体没有独自占一个圆排列,先把 n-1 个元素构成 m 个圆排列，为 s(n-1,m);再将甲元素插入到每个元素的左边（或是右边），为 (n-1)*s(n-1,m);

第二类stirling数：将n个不同的元素分成m个非空的集合的方案数

递推关系式：1.S(n,0)=S(0,n)=0;

2.S(n,1)=S(n,n)=1;

3.S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m);

递推关系式的说明：1.甲元素独自占一个集合，此时为S(n-1,m-1);

2.先将除甲之外的n-1个元素进行分割，为S(n-1,m),最后将甲插入，为m*S(n-1,m);

如果为m个不同的容器，为m！*S（n,m）;

例：将n个不同的球放入m个不同的容器中所有的方案数（容器不能为空）；
或者是：

n场比赛，m张牌（n>=m）每场比赛用一张牌，

#include
#include
#include
using namespace std;
int stirling(int n,int m);
int fac(int m);
int sum[110][110];
int n,m;
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        printf("%d\n",stirling(n,m));
    }
    return 0;
}
int stirling(int n,int m)
{
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
    {
        if(ij) sum[i][j]=sum[i-1][j-1]+j*sum[i-1][j];
    }
    return sum[n][m]*fac(m);
}
int fac(int m)
{
    int num=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        num*=i;
    return num;
}

每张牌至少用一次，问有几种方案数。

分析：n场比赛划分成m个集合，每个集合里的比赛只用同一张牌，

没有空的集合。也就是说把包含n个元素的集合划分为正好m个非空子集的方法的数目，

再乘m的全排列。