关系数据库设计

（一）两种闭包

（1）函数依赖集的闭包

• $$\begin{gathered} 逻辑蕴含：给定一个关系模式r(R)，如果r(R)的每一个满足F的实例也满足f， \\ 则R上的函数依赖f被r上的函数依赖集F逻辑蕴含（f逻辑蕴含F）。 \\ 主观上来理解，就是函数依赖集F可以推出函数依赖f。 \end{gathered}$$
• $$\begin{gathered} 函数依赖集F的闭包：就是被F逻辑蕴含的所有函数依赖的集合，记作F^{+}。 \\ 函数依赖集的闭包可以使用Amstrong公理以及另外三条规则来求： \\ （a）自反律：\beta \subset \alpha \Rightarrow \alpha \to \beta \\ （b）增补律：\alpha \to \beta 且\gamma 为一属性集\Rightarrow \gamma \alpha \to \gamma \beta \\ （c）传递律：\alpha \to \beta 且\beta \to \gamma \Rightarrow \alpha \to \gamma \\ （d）合并律：\alpha \to \beta 且\alpha \to \gamma \Rightarrow \alpha \to \beta \gamma \\ （e）分解律：\alpha \to \beta \gamma \Rightarrow \alpha \to \beta 且\alpha \to \gamma \\ （f）伪传递律：\alpha \to \beta 且\gamma \beta \to \delta \Rightarrow \alpha \gamma \to \delta \end{gathered}$$

（2）属性集的闭包

• $函数确定：如果\alpha \to B，那么属性B被\alpha 函数确定。$
• $$\begin{gathered} F下\alpha 的闭包：函数依赖集F下被\alpha 函数确定的所有属性的集合，即为{\alpha }^{+}。 \\ 求解F下\alpha 的闭包可以先将\alpha 加入到{\alpha }^{+}中，然后循环遍历所有函数依赖F_i（记作{\alpha }_i\to {\beta }_i）， \\ 如果{\alpha }_i\subset {\alpha }^{+}，那么就将{\beta }_i加入到{\alpha }^{+}中。当{\alpha }^{+}不再加入新属性，算法终止。 \end{gathered}$$

（3）正则覆盖

• $目的：删除无关变量，得到最小的覆盖。$
• $$\begin{gathered} 定义：F的正则覆盖F_c是一个函数依赖集，使得F逻辑蕴含F_c中的所有依赖， \\ 而且F_c逻辑蕴含F中的所有依赖。 \end{gathered}$$
• 检验A是否为无关变量的方法：（a）如果删掉箭头后面的A，检验新F′能否推出α→A（b）如果删掉箭头前面的A，检验原F能否推出α−{A}→β检验A是否为无关变量的方法：\\ （a）如果删掉箭头后面的A，检验新F'能否推出\alpha\rightarrow A\\ （b）如果删掉箭头前面的A，检验原F能否推出\alpha-\{A\}\rightarrow\beta检验A是否为无关变量的方法：（a）如果删掉箭头后面的A，检验新F′能否推出α→A（b）如果删掉箭头前面的A，检验原F能否推出α−{A}→β

(二）两种范式

（1）Boyce-Codd范式（BCNF）

• $$\begin{gathered} 定义：对F^{+}中所有形如\alpha \to \beta 的函数依赖，下面至少有一项成立： \\ （a）\alpha \to \beta 是平凡的函数依赖（即\beta \subset \alpha ）。 \\ （b）\alpha 是模式R的一个超码。 \end{gathered}$$
• $BCNF分解$
  $$\begin{gathered} 步骤：找出非平凡的函数依赖\alpha \to \beta （其中\alpha 不是R的超码），用以下两个模式取代R： \\ （a）(\alpha \cup \beta )（b）(R-(\beta -\alpha )) \\ 重复以上过程直至所有的模式都满足BCNF。 \\ 更一般而言，如果{\alpha }^{+}同时违反了以下两个条件，且存在函数依赖\alpha \to \beta ，则证明R违反了BCNF： \\ （a）{\alpha }^{+}不包含R-\alpha 的任何属性（b）{\alpha }^{+}包含R的所有属性 \end{gathered}$$
  $$\begin{gathered} BCNF分解一定是无损分解（R_1\cap R_2一定是R_1或R_2的超码）， \\ 但并不一定能保持依赖（F上的每一个函数依赖都在其分解后的某一个关系上成立）， \\ 所以需要引入比BCNF弱的第三范式。 \end{gathered}$$

（2）第三范式（3NF）

• $$\begin{gathered} 定义：在BCNF的基础上增加一个可选项： \\ （c）\beta -\alpha 中的每个属性A都包含于R的一个候选码中（不要求包含于同一个候选码）。 \end{gathered}$$
• $3NF分解$
  $$\begin{gathered} 步骤：利用BCNF分解或者正则覆盖将R分解为R_1,R_2,...,R_i后，如果R_1,R_2,...,R_i都不包含R的候选码， \\ 那么新增一个模式R_{i+1}，R_{i+1}由R的候选码组成。 \end{gathered}$$