同余方程组解的存在性和唯一性-优快云博客

命题：同余方程组 ${x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)\begin{cases} x\equiv a_1(mod\;m_1)\\ x\equiv a_2(mod\;m_2) \end{cases}$
有解当且仅当 $m_1,m_2)|(a_1-a_2)$ 。并证明若有解，该解模 $m_1, m_2])$ 是唯一的。
（选自《信息安全数学基础（第二版）第3章习题》）

方法一

本题可以分解为以下三个命题的证明：

必要性：该同余方程组有解 $⇒(m1,m2)∣(a1−a2)\Rightarrow(m_1,m_2)|(a_1-a_2)$ 。
充分性： $(m1,m2)∣(a1−a2)⇒(m_1,m_2)|(a_1-a_2)\Rightarrow$ 该同余方程组有解。
若该同余方程组有解，则该解模 $m_1, m_2])$ 是唯一的。

$证明：（1）已知原同余方程组有解，那么∃q1,q2满足a1+m1q1=a2+m2q2，即m2q2−m1q1=a2−a1⇒(m1,m2)∣(a1−a2)，必要性成立。（2）因为(m1,m2)∣(a1−a2)，所以∃k,s,t，满足a1−a2=ksm1+ktm2。取x0=a1−ksm1=a2+ktm2，代入原同余方程组验证成立，所以x0即为该同余方程组的解，充分性成立。（3）对于该同余方程组的任意解x1,x2，都有x1≡x2(mod m1),x1≡x2(mod m2)，所以有x1≡x2(mod [m1,m2])，即x1与x2模[m1,m2]同余。因此该同余方程的解模([m1,m2])是唯一的。证明：\\ （1）已知原同余方程组有解，那么\exist q_1, q_2满足a_1+m_1q_1=a_2+m_2q_2，\\ 即m_2q_2-m_1q_1=a_2-a_1\Rightarrow(m_1,m_2)|(a_1-a_2)，必要性成立。\\ （2）因为(m_1,m_2)|(a_1-a_2)，所以\exist k, s, t，满足a_1-a_2=ksm_1+ktm_2。\\ 取x_0=a_1-ksm_1=a_2+ktm_2，代入原同余方程组验证成立，\\ 所以x_0即为该同余方程组的解，充分性成立。\\ （3）对于该同余方程组的任意解x_1,x_2，都有x_1\equiv x_2(mod\;m_1),x_1\equiv x_2(mod\;m_2)，\\ 所以有x_1\equiv x_2(mod\;[m_1,m_2])，即x_1与x_2模[m_1,m_2]同余。\\ 因此该同余方程的解模([m_1,m_2])是唯一的。$

方法二

我们先来看一个引理。

引理：二元一次不定方程 $a x + b y = c$ 有整数解的充要条件是 $(a, b) ∣ c$ 。
$证明：（1）必要性：设方程有整数解x0，y0，则有ax0+by0=c。因为(a,b)∣a,(a,b)∣b，所以(a,b)∣(ax0+by0)，即(a,b)∣c。（2）充分性：设(a,b)∣c，则c=k(a,b),k∈Z。存在整数s,t，使得as+bt=(a,b)。令x0=ks,y0=kt，则x0,y0即为方程的解。证毕。证明：\\ （1）必要性：设方程有整数解x_0，y_0，则有ax_0+by_0=c。\\ 因为(a,b)|a,(a,b)|b，所以(a,b)|(ax_0+by_0)，即(a,b)|c。\\ （2）充分性：设(a,b)|c，则c=k(a,b),k\in \mathbb{Z}。\\ 存在整数s,t，使得as+bt=(a,b)。\\ 令x_0=ks,y_0=kt，则x_0,y_0即为方程的解。\\ 证毕。$
下面我们回到命题的证明：
$因为x≡a1(mod m1)⇔∃q1∈Z,使得x=a1+m1q1.x≡a2(mod m2)⇔∃q2∈Z,使得x=a2+m2q2.所以该同余方程组有解的等价命题为：关于q1,q2的二元一次不定方程a1+m1q1=a2+m2q2，即m2q2−m1q1=a1a2有整数解。由引理可知m2q2−m1q1=a1a2有整数解的充要条件为(−m1,m2)∣(a1−a2)，即(m1,m2)∣(a1−a2)。所以同余方程组{x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)有解当且仅当(m1,m2)∣(a1−a2)。对于该同余方程组的任意解x1,x2，都有x1≡x2(mod m1),x1≡x2(mod m2)，所以有x1≡x2(mod [m1,m2])，即x1与x2模[m1,m2]同余。因此该同余方程的解模([m1,m2])是唯一的。因为\\ x\equiv a_1(mod\;m_1)\Leftrightarrow\exists q_1\in\mathbb{Z},使得x=a_1+m_1q_1.\\ x\equiv a_2(mod\;m_2)\Leftrightarrow\exists q_2\in\mathbb{Z},使得x=a_2+m_2q_2.\\ 所以该同余方程组有解的等价命题为：\\ 关于q_1,q_2的二元一次不定方程a_1+m_1q_1=a_2+m_2q_2，即m_2q_2-m_1q_1=a_1a_2有整数解。\\ 由引理可知m_2q_2-m_1q_1=a_1a_2有整数解的充要条件为\\ (-m_1,m_2)|(a_1-a_2)，即(m_1,m_2)|(a_1-a_2)。\\ 所以同余方程组\begin{cases} x\equiv a_1(mod\;m_1)\\ x\equiv a_2(mod\;m_2) \end{cases}有解当且仅当(m_1,m_2)|(a_1-a_2)。\\ 对于该同余方程组的任意解x_1,x_2，都有x1\equiv x_2(mod\;m_1),x_1\equiv x_2(mod\;m_2)，\\ 所以有x1\equiv x2(mod\;[m_1,m_2])，即x_1与x_2模[m_1,m_2]同余。\\ 因此该同余方程的解模([m_1,m_2])是唯一的。$